Номер 22, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 22, страница 27.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Метод математической индукции

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство $1 + 11 + 21 + \dots + 10n - 9 = n(5n - 4)$.

2. Докажите неравенство $5^n > 4n + 3$, где $n \in N, n \ge 2$.

3. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения $(24^n + 37 \cdot 5^n)$ кратно 19.

Решение.

1.

Докажем равенство $1 + 11 + 21 + ... + 10n - 9 = n(5n - 4)$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим справедливость равенства для $n=1$.

Левая часть равенства: $10 \cdot 1 - 9 = 1$.

Правая часть равенства: $1 \cdot (5 \cdot 1 - 4) = 1 \cdot (5 - 4) = 1$.

Так как $1=1$, равенство верно для $n=1$.

2. Шаг индукции.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$:

$1 + 11 + 21 + ... + (10k - 9) = k(5k - 4)$.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$, то есть:

$1 + 11 + 21 + ... + (10k - 9) + (10(k+1) - 9) = (k+1)(5(k+1) - 4)$.

Преобразуем левую часть этого равенства, используя предположение индукции:

$\underbrace{1 + 11 + 21 + ... + (10k - 9)}_{k(5k - 4)} + (10(k+1) - 9) = k(5k - 4) + (10k + 10 - 9)$

$= 5k^2 - 4k + 10k + 1 = 5k^2 + 6k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$(k+1)(5(k+1) - 4) = (k+1)(5k + 5 - 4) = (k+1)(5k + 1) = 5k^2 + k + 5k + 1 = 5k^2 + 6k + 1$.

Поскольку левая и правая части равенства для $n=k+1$ оказались равны ($5k^2 + 6k + 1 = 5k^2 + 6k + 1$), шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, данное равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2.

Докажем неравенство $5^n > 4n + 3$ для всех натуральных $n \ge 2$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим справедливость неравенства для наименьшего возможного значения $n=2$.

Левая часть: $5^2 = 25$.

Правая часть: $4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11$.

Так как $25 > 11$, неравенство верно для $n=2$.

2. Шаг индукции.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $n=k \ge 2$:

$5^k > 4k + 3$.

Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть: $5^{k+1} > 4(k+1) + 3$.

Умножим обе части неравенства из нашего предположения на 5:

$5 \cdot 5^k > 5 \cdot (4k + 3)$

$5^{k+1} > 20k + 15$.

Теперь нам нужно доказать, что $20k + 15$ больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть $4(k+1) + 3$.

$4(k+1) + 3 = 4k + 4 + 3 = 4k + 7$.

Сравним $20k + 15$ и $4k + 7$. Составим их разность:

$(20k + 15) - (4k + 7) = 16k + 8$.

Поскольку $k \ge 2$, то $16k + 8$ является положительным числом ($16 \cdot 2 + 8 = 40 > 0$).

Следовательно, $20k + 15 > 4k + 7$.

Мы получили цепочку неравенств: $5^{k+1} > 20k + 15 > 4k + 7 = 4(k+1) + 3$.

Отсюда следует, что $5^{k+1} > 4(k+1) + 3$. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство верно для любого натурального $n \ge 2$.

Ответ: Утверждение доказано.

3.

Докажем, что для любого натурального $n$ значение выражения $(24^n + 37 \cdot 5^n)$ кратно 19, методом математической индукции.

Обозначим $A(n) = 24^n + 37 \cdot 5^n$.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 24^1 + 37 \cdot 5^1 = 24 + 185 = 209$.

Проверим делимость $A(1)$ на 19: $209 : 19 = 11$.

Поскольку 209 делится на 19 без остатка, база индукции верна.

2. Шаг индукции.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = 24^k + 37 \cdot 5^k$ кратно 19.

Докажем, что из этого следует, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть $A(k+1) = 24^{k+1} + 37 \cdot 5^{k+1}$ также кратно 19.

Рассмотрим выражение $A(k+1)$:

$A(k+1) = 24^{k+1} + 37 \cdot 5^{k+1} = 24 \cdot 24^k + 5 \cdot 37 \cdot 5^k$.

Преобразуем это выражение, чтобы выделить в нем $A(k)$:

$A(k+1) = (19 + 5) \cdot 24^k + 5 \cdot 37 \cdot 5^k = 19 \cdot 24^k + 5 \cdot 24^k + 5 \cdot 37 \cdot 5^k$

$= 19 \cdot 24^k + 5 \cdot (24^k + 37 \cdot 5^k)$

$= 19 \cdot 24^k + 5 \cdot A(k)$.

В полученной сумме $19 \cdot 24^k + 5 \cdot A(k)$ первое слагаемое, $19 \cdot 24^k$, очевидно кратно 19. Второе слагаемое, $5 \cdot A(k)$, кратно 19 по предположению индукции (так как $A(k)$ кратно 19).

Сумма двух выражений, каждое из которых кратно 19, также кратна 19. Следовательно, $A(k+1)$ кратно 19. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, выражение $(24^n + 37 \cdot 5^n)$ кратно 19 для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.