Номер 16, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 16, страница 24.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Системы неравенств с двумя переменными

1. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x^2 + y^2 > 10, \\ xy \le 3. \end{cases}$

2. Изобразите график неравенства:

1) $|2x - y| > 1;$

2) $\sqrt{3x - y + 2} < \sqrt{2x + y}.$

3. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $\min \{2y, 3\} = x - 2.$

Решение.

1. Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x^2 + y^2 > 10 \\ xy \le 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $x^2 + y^2 > 10$, задает множество точек на координатной плоскости, находящихся вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$. Граница окружности, задаваемая уравнением $x^2 + y^2 = 10$, не включается в решение, поэтому на графике она изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $xy \le 3$, задает множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y = 3/x$. Если $x > 0$, то $y \le 3/x$. Если $x < 0$, то $y \ge 3/x$. Если $x=0$ или $y=0$, неравенство $0 \le 3$ выполняется, поэтому оси координат также входят в это множество. Граница, гипербола $xy=3$, включается в решение, поэтому изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это все точки координатной плоскости, которые лежат одновременно вне окружности $x^2 + y^2 = 10$ и между ветвями гиперболы $xy=3$ (включая сами ветви).

Ответ: Искомое множество – это часть плоскости, расположенная между ветвями гиперболы $y=3/x$ (включая гиперболу), из которой исключен открытый круг с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{10}$.

2.

1) Изобразим график неравенства $|2x - y| > 1$.

Данное неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств: $ \begin{cases} 2x - y > 1 \\ 2x - y < -1 \end{cases} $

Выразим $y$ в каждом из неравенств:
Из $2x - y > 1$ следует $-y > 1 - 2x$, то есть $y < 2x - 1$.
Из $2x - y < -1$ следует $-y < -1 - 2x$, то есть $y > 2x + 1$.

Таким образом, нужно изобразить множество точек, удовлетворяющих либо $y < 2x - 1$, либо $y > 2x + 1$.

Первое неравенство, $y < 2x - 1$, задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 2x - 1$.

Второе неравенство, $y > 2x + 1$, задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = 2x + 1$.

Прямые $y = 2x - 1$ и $y = 2x + 1$ параллельны. Границы не включаются в решение, поэтому обе прямые изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Графиком неравенства является объединение двух открытых полуплоскостей: область ниже прямой $y = 2x - 1$ и область выше прямой $y = 2x + 1$. Иными словами, это вся плоскость, за исключением замкнутой полосы между прямыми $y = 2x - 1$ и $y = 2x + 1$.

2) Изобразим график неравенства $\sqrt{3x - y + 2} < \sqrt{2x + y}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными: $ \begin{cases} 3x - y + 2 \ge 0 \\ 2x + y \ge 0 \end{cases} $
Это равносильно системе: $ \begin{cases} y \le 3x + 2 \\ y \ge -2x \end{cases} $

Так как обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$3x - y + 2 < 2x + y$
$x + 2 < 2y$
$y > \frac{1}{2}x + 1$

Таким образом, решение должно удовлетворять системе из трех неравенств: $ \begin{cases} y \le 3x + 2 \\ y \ge -2x \\ y > \frac{1}{2}x + 1 \end{cases} $

Изобразим на координатной плоскости область, заданную этой системой.
1. Граница $y = 3x + 2$ – сплошная линия. Решение лежит ниже или на этой линии.
2. Граница $y = -2x$ – сплошная линия. Решение лежит выше или на этой линии.
3. Граница $y = \frac{1}{2}x + 1$ – пунктирная линия. Решение лежит выше этой линии.

Найдем точку пересечения всех трех прямых:
$3x + 2 = -2x \implies 5x = -2 \implies x = -0.4$. Тогда $y = -2(-0.4) = 0.8$.
Проверим для третьей прямой: $0.8 > \frac{1}{2}(-0.4) + 1 \implies 0.8 > -0.2 + 1 \implies 0.8 > 0.8$, что неверно. Точка пересечения $(-0.4, 0.8)$ не входит в искомое множество.

Ответ: Искомое множество – это открытый угол (внутренняя его часть), образованный лучами прямых $y=3x+2$ и $y=-2x$, исходящими из точки их пересечения $(-0.4, 0.8)$, при этом сама точка пересечения и луч прямой $y = \frac{1}{2}x + 1$ не включаются.

3. Изобразим на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $\min\{2y, 3\} = x - 2$.

Рассмотрим два случая, исходя из определения функции минимума.

Случай 1: $2y \le 3$, то есть $y \le 1.5$.
В этом случае $\min\{2y, 3\} = 2y$. Уравнение принимает вид:
$2y = x - 2$, или $y = \frac{1}{2}x - 1$.
Нам нужна та часть прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$, для которой выполняется условие $y \le 1.5$. Найдем, какому значению $x$ соответствует $y = 1.5$:
$1.5 = \frac{1}{2}x - 1 \implies 2.5 = \frac{1}{2}x \implies x = 5$.
Таким образом, в этом случае решением является луч прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$ с началом в точке $(5, 1.5)$, проходящий через все точки, где $x \le 5$.

Случай 2: $2y > 3$, то есть $y > 1.5$.
В этом случае $\min\{2y, 3\} = 3$. Уравнение принимает вид:
$3 = x - 2$, или $x = 5$.
Нам нужна та часть вертикальной прямой $x = 5$, для которой выполняется условие $y > 1.5$.
Таким образом, в этом случае решением является открытый луч прямой $x = 5$ с началом в точке $(5, 1.5)$, направленный вверх.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из общей точки $(5, 1.5)$.

Ответ: Искомое множество точек – это объединение двух лучей: луча прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$ для $x \le 5$ и луча прямой $x = 5$ для $y \ge 1.5$. Эти лучи образуют "угол" с вершиной в точке $(5, 1.5)$.