Номер 31, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 31, страница 30.

Условие.

Самостоятельная работа № 31

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии

1. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена: $a_n = -2n + 1$. Найдите сумму тридцати восьми первых членов прогрессии.

2. Для любого натурального значения $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 3n^2 + 7n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

3. Семнадцатый член арифметической прогрессии равен 14. Найдите сумму тридцати трёх первых членов прогрессии.

Решение.

1.

Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой n-го члена $a_n = -2n + 1$. Необходимо найти сумму первых тридцати восьми членов ($S_{38}$).
Для этого воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Сначала найдем первый член прогрессии ($a_1$), подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = -2(1) + 1 = -2 + 1 = -1$.
Теперь найдем тридцать восьмой член прогрессии ($a_{38}$), подставив $n=38$:
$a_{38} = -2(38) + 1 = -76 + 1 = -75$.
Теперь мы можем вычислить сумму $S_{38}$, подставив найденные значения в формулу:
$S_{38} = \frac{a_1 + a_{38}}{2} \cdot 38 = \frac{-1 + (-75)}{2} \cdot 38 = \frac{-76}{2} \cdot 38 = -38 \cdot 38 = -1444$.
Ответ: -1444.

2.

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = 3n^2 + 7n$. Нужно найти первый член ($a_1$) и разность ($d$) этой прогрессии.
1. Первый член $a_1$ равен сумме одного первого члена, то есть $S_1$. Найдем его, подставив $n=1$ в формулу суммы:
$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 7(1) = 3 + 7 = 10$.
2. Сумма первых двух членов $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Найдем $S_2$, подставив $n=2$:
$S_2 = 3(2)^2 + 7(2) = 3 \cdot 4 + 14 = 12 + 14 = 26$.
3. Второй член $a_2$ можно найти как разность $S_2$ и $a_1$:
$a_2 = S_2 - a_1 = 26 - 10 = 16$.
4. Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = 16 - 10 = 6$.
Ответ: первый член $a_1 = 10$, разность $d = 6$.

3.

Известно, что семнадцатый член арифметической прогрессии $a_{17} = 14$. Требуется найти сумму первых тридцати трёх членов ($S_{33}$).
Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Запишем эту формулу для $n=33$:
$S_{33} = \frac{2a_1 + d(33-1)}{2} \cdot 33 = \frac{2a_1 + 32d}{2} \cdot 33$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе:
$S_{33} = \frac{2(a_1 + 16d)}{2} \cdot 33 = (a_1 + 16d) \cdot 33$.
Вспомним формулу n-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$. Для $n=17$ она имеет вид:
$a_{17} = a_1 + d(17-1) = a_1 + 16d$.
По условию, $a_{17} = 14$, значит, $a_1 + 16d = 14$.
Подставим это значение в выражение для $S_{33}$:
$S_{33} = 14 \cdot 33 = 462$.
Ответ: 462.