Номер 32, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 32, страница 31.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Геометрическая прогрессия

1. Между числами 625 и 16 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.

2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_8 = 25b_6$ и $b_4 + b_7 = -375$.

3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 4 и 5, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

1.

Пусть искомая геометрическая прогрессия $b_n$ состоит из 5 членов. По условию, первый член прогрессии $b_1 = 625$, а пятый член $b_5 = 16$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Для пятого члена прогрессии имеем:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$16 = 625 \cdot q^4$

Отсюда найдем знаменатель $q$:

$q^4 = \frac{16}{625}$

$q^4 = \left(\frac{2}{5}\right)^4$

Это уравнение имеет два действительных решения: $q = \frac{2}{5}$ и $q = -\frac{2}{5}$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{2}{5}$

Найдем три промежуточных члена прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \frac{2}{5} = 250$

$b_3 = b_2 \cdot q = 250 \cdot \frac{2}{5} = 100$

$b_4 = b_3 \cdot q = 100 \cdot \frac{2}{5} = 40$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16$. Верно.

Полученная прогрессия: 625, 250, 100, 40, 16.

Случай 2: $q = -\frac{2}{5}$

Найдем три промежуточных члена прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -250$

$b_3 = b_2 \cdot q = -250 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = 100$

$b_4 = b_3 \cdot q = 100 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -40$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -40 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = 16$. Верно.

Полученная прогрессия: 625, -250, 100, -40, 16.

Ответ: 625, 250, 100, 40, 16 или 625, -250, 100, -40, 16.

2.

Пусть $b_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель геометрической прогрессии $b_n$. Используем формулу n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из первого условия $b_8 = 25b_6$ имеем:

$b_1 \cdot q^{8-1} = 25 \cdot (b_1 \cdot q^{6-1})$

$b_1 \cdot q^7 = 25 \cdot b_1 \cdot q^5$

Поскольку из второго условия следует, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, мы можем разделить обе части на $b_1 \cdot q^5$:

$q^2 = 25$

Отсюда $q = 5$ или $q = -5$.

Теперь используем второе условие $b_4 + b_7 = -375$:

$b_1 \cdot q^3 + b_1 \cdot q^6 = -375$

$b_1(q^3 + q^6) = -375$

Рассмотрим два возможных значения $q$.

Случай 1: $q = 5$

Подставим $q=5$ в уравнение:

$b_1(5^3 + 5^6) = -375$

$b_1(125 + 15625) = -375$

$b_1 \cdot 15750 = -375$

$b_1 = -\frac{375}{15750} = -\frac{1}{42}$

Случай 2: $q = -5$

Подставим $q=-5$ в уравнение:

$b_1((-5)^3 + (-5)^6) = -375$

$b_1(-125 + 15625) = -375$

$b_1 \cdot 15500 = -375$

$b_1 = -\frac{375}{15500} = -\frac{75}{3100} = -\frac{15}{620} = -\frac{3}{124}$

Таким образом, существует две пары решений.

Ответ: $b_1 = -1/42, q = 5$ или $b_1 = -3/124, q = -5$.

3.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a-d$, $a$ и $a+d$, где $a$ – средний член, а $d$ – разность прогрессии.

По условию, их сумма равна 30:

$(a-d) + a + (a+d) = 30$

$3a = 30$

$a = 10$

Таким образом, исходные числа: $10-d$, $10$, $10+d$.

Теперь преобразуем эти числа согласно условию. Первое число остается без изменений: $10-d$. Из второго вычитаем 4, получаем $10 - 4 = 6$. Из третьего вычитаем 5, получаем $(10+d) - 5 = 5+d$.

Полученные числа $10-d$, $6$, $5+d$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей:

$6^2 = (10-d)(5+d)$

$36 = 50 + 10d - 5d - d^2$

$36 = 50 + 5d - d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$d^2 - 5d - 14 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $d_1 = 7$ и $d_2 = -2$.

Найдем исходные числа для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 7$

Исходные числа: $10-7, 10, 10+7$, то есть $3, 10, 17$.

Проверка: Новые числа $3$, $10-4=6$, $17-5=12$. Последовательность $3, 6, 12$ является геометрической прогрессией со знаменателем 2.

Случай 2: $d = -2$

Исходные числа: $10-(-2), 10, 10+(-2)$, то есть $12, 10, 8$.

Проверка: Новые числа $12$, $10-4=6$, $8-5=3$. Последовательность $12, 6, 3$ является геометрической прогрессией со знаменателем $1/2$.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 3, 10, 17 или 12, 10, 8.