Номер 4, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 4, страница 34.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Построение графиков функций $y = kf(x)$ и $y = f(kx)$

1. Известно, что точка $F (-5; -15)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

2. На рисунке 6 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = -f(x)$;

2) $y = f(-x)$.

Рис. 6

3. Число 4 является нулём возрастающей функции $f$. Решите уравнение $f\left(-\frac{1}{3}x\right) = 0$.

4. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3}x^2$; 2) $y = \sqrt{-2x}$.

Решение.

1.

По условию, точка $F(-5; -15)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = -5$ и $y = -15$ в уравнение $y = ax^2$:

$-15 = a \cdot (-5)^2$

$-15 = a \cdot 25$

Теперь найдем $a$, разделив обе части уравнения на 25:

$a = \frac{-15}{25}$

Сократим дробь на 5:

$a = -\frac{3}{5}$

Ответ: $a = -\frac{3}{5}$.

2.

На рисунке 6 изображен график функции $y = f(x)$.

1) y = -f(x)

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x, -y)$.

Ключевые точки исходного графика: $(-3, 0), (-2, -2), (0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 3), (4, 0)$.

Ключевые точки нового графика: $(-3, 0), (-2, 2), (0, -1), (1, -2), (2, 0), (3, -3), (4, 0)$.

Построим график по этим точкам:

Ответ: График функции $y = -f(x)$ изображен на рисунке выше.

2) y = f(-x)

График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, y)$.

Ключевые точки исходного графика: $(-3, 0), (-2, -2), (0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 3), (4, 0)$.

Ключевые точки нового графика: $(3, 0), (2, -2), (0, 1), (-1, 2), (-2, 0), (-3, 3), (-4, 0)$.

Построим график по этим точкам:

Ответ: График функции $y = f(-x)$ изображен на рисунке выше.

3.

По условию, число 4 является нулём функции $f$. Это значит, что $f(4) = 0$.

Нам нужно решить уравнение $f(-\frac{1}{3}x) = 0$.

Функция $f$ является возрастающей. Это означает, что она принимает каждое свое значение только один раз. Следовательно, у нее может быть только один нуль.

Поскольку $f(z) = 0$ только при $z=4$, то для выполнения равенства $f(-\frac{1}{3}x) = 0$ необходимо, чтобы аргумент функции был равен 4:

$-\frac{1}{3}x = 4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -3:

$x = 4 \cdot (-3)$

$x = -12$

Ответ: $x = -12$.

4.

1) $y = \frac{1}{3}x^2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный $\frac{1}{3}$) положителен. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. График симметричен относительно оси Oy.

Составим таблицу значений для построения графика:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Точка (0, 0).
• При $x=1$, $y = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$. Точка (1, 1/3).
• При $x=-1$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{3}$. Точка (-1, 1/3).
• При $x=3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = \frac{9}{3} = 3$. Точка (3, 3).
• При $x=-3$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = 3$. Точка (-3, 3).

График функции:

Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (парабола) изображен на рисунке выше.

2) $y = \sqrt{-2x}$

Это функция квадратного корня. Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$-2x \ge 0$

Разделим на -2 и сменим знак неравенства:

$x \le 0$

Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0]$. График расположен во второй координатной четверти.

Составим таблицу значений:

• При $x=0$, $y = \sqrt{-2 \cdot 0} = 0$. Точка (0, 0).
• При $x=-0.5$, $y = \sqrt{-2 \cdot (-0.5)} = \sqrt{1} = 1$. Точка (-0.5, 1).
• При $x=-2$, $y = \sqrt{-2 \cdot (-2)} = \sqrt{4} = 2$. Точка (-2, 2).
• При $x=-4.5$, $y = \sqrt{-2 \cdot (-4.5)} = \sqrt{9} = 3$. Точка (-4.5, 3).
• При $x=-8$, $y = \sqrt{-2 \cdot (-8)} = \sqrt{16} = 4$. Точка (-8, 4).

График функции:

Ответ: График функции $y = \sqrt{-2x}$ изображен на рисунке выше.