Номер 5, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 5, страница 35.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Построение графиков функций $y = f(x) + b$ и $y = f(x + a)$

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 12$;

2) $y = (x - 7)^2$;

3) $y = (x + 20)^2 + 1?$

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 1}$;

2) $y = 1 + \sqrt{x + 2}.$

3. Постройте график функции $y = \frac{3x}{x + 2}.$

4. Сколько корней имеет уравнение $|x + 2| = a - x^2$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

1. Каковы координаты вершины параболы:

Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ — это $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

1) $y = x^2 + 12$
Уравнение можно представить в виде $y = (x - 0)^2 + 12$. Здесь $x_0 = 0$ и $y_0 = 12$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(0; 12)$.
Ответ: $(0; 12)$.

2) $y = (x - 7)^2$
Уравнение можно представить в виде $y = (x - 7)^2 + 0$. Здесь $x_0 = 7$ и $y_0 = 0$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(7; 0)$.
Ответ: $(7; 0)$.

3) $y = (x + 20)^2 + 1$
Уравнение можно представить в виде $y = (x - (-20))^2 + 1$. Здесь $x_0 = -20$ и $y_0 = 1$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(-20; 1)$.
Ответ: $(-20; 1)$.

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

Базовый график $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, исходящая из точки $(0; 0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$. Область определения $x \ge 0$.

1) $y = \sqrt{x + 1}$
Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Ox на 1 единицу влево. Начальная точка графика смещается из $(0; 0)$ в точку $(-1; 0)$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 1}$ — это график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево.

2) $y = 1 + \sqrt{x + 2}$
Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем двух преобразований:
1. Сдвиг вдоль оси Ox на 2 единицы влево (из-за $x+2$ под корнем).
2. Сдвиг вдоль оси Oy на 1 единицу вверх (из-за $+1$).
Начальная точка графика смещается из $(0; 0)$ в точку $(-2; 1)$.
Ответ: График функции $y = 1 + \sqrt{x + 2}$ — это график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх.

3. Постройте график функции $y = \frac{3x}{x + 2}$.
Преобразуем выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{3x}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 6}{x + 2} = \frac{3(x + 2)}{x + 2} - \frac{6}{x + 2} = 3 - \frac{6}{x + 2}$.
График этой функции — гипербола. Его можно построить, выполнив преобразования графика $y = \frac{1}{x}$:
1. Растяжение вдоль оси Oy в 6 раз: $y = \frac{6}{x}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox: $y = -\frac{6}{x}$.
3. Сдвиг на 2 единицы влево: $y = -\frac{6}{x + 2}$.
4. Сдвиг на 3 единицы вверх: $y = 3 - \frac{6}{x + 2}$.
Асимптоты графика:
- Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 3$.
Точки пересечения с осями координат:
- С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{3 \cdot 0}{0 + 2} = 0$. Точка $(0; 0)$.
- С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{3x}{x+2} \implies 3x=0 \implies x=0$. Точка $(0; 0)$.
График проходит через начало координат. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.
Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x = -2$ и $y = 3$, проходящая через точку $(0; 0)$.

4. Сколько корней имеет уравнение $|x + 2| = a - x^2$ в зависимости от значения параметра $a$?
Решим задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |x + 2|$ и $y = a - x^2$.
1. График $y = |x + 2|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(-2; 0)$. Он состоит из двух лучей:
- $y = x + 2$ при $x \ge -2$.
- $y = -x - 2$ при $x < -2$.
2. График $y = a - x^2$ (или $y = -x^2 + a$) — это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0; a)$. Параметр $a$ сдвигает параболу вверх или вниз.
Найдем критические значения параметра $a$, при которых меняется число точек пересечения.
Критическое значение возникает, когда парабола касается одного из лучей. Касание возможно только с правым лучом $y = x + 2$, так как вершина параболы находится на оси Oy ($x=0$).
Условие касания: уравнение $a - x^2 = x + 2$ должно иметь один корень.
$x^2 + x + (2 - a) = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - a) = 1 - 8 + 4a = 4a - 7$.
Уравнение имеет один корень при $D=0$, то есть $4a - 7 = 0 \implies a = \frac{7}{4}$.
Теперь проанализируем количество корней для разных значений $a$:
- Если $a < \frac{7}{4}$, то $D < 0$. Парабола находится ниже точки касания и не пересекает правый луч. С левым лучом она также не пересекается. Следовательно, решений нет.
- Если $a = \frac{7}{4}$, то $D = 0$. Парабола касается правого луча в одной точке. С левым лучом пересечений нет. Следовательно, есть одно решение.
- Если $a > \frac{7}{4}$, то $D > 0$. Парабола пересекает прямую $y=x+2$ в двух точках. Проверим, лежат ли эти точки на луче $x \ge -2$. Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{4a-7}}{2}$. Один корень всегда больше $-2$. Второй корень $\frac{-1 - \sqrt{4a-7}}{2} \ge -2$ при $a \le 4$. Когда $a > 4$, этот корень становится меньше $-2$.
Также при $a > 4$ парабола начинает пересекать и левый луч $y = -x - 2$ (в области $x < -2$).
При $ \frac{7}{4} < a \le 4$ парабола пересекает правый луч в двух точках, а левый не пересекает. Итого 2 решения.
При $a > 4$ парабола пересекает правый луч в одной точке (с $x \ge -2$) и левый луч в одной точке (с $x < -2$). Итого 2 решения.
Таким образом, при $a > \frac{7}{4}$ всегда будет два решения.
Ответ:
- 0 корней при $a < \frac{7}{4}$;
- 1 корень при $a = \frac{7}{4}$;
- 2 корня при $a > \frac{7}{4}$.