Номер 12, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 12, страница 38.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6. \end{cases} $

2. Определите графически количество решений системы уравнений $ \begin{cases} |y| = x, \\ y = -x^2 + 5x + 1. \end{cases} $

3. Сколько решений имеет система уравнений $ \begin{cases} 4x + ay = 16 - a, \\ ax + 16y = 16 \end{cases} $ в зависимости от значения параметра а?

Решение.

1.

Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6 \end{cases} $ построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 13$, — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение, $xy = -6$, можно представить в виде $y = -6/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами гиперболы являются оси координат.

Построим эти графики. Точки пересечения графиков являются решениями системы.

Из графика видно, что окружность и гипербола пересекаются в четырех точках. Определим их координаты. Подставляя целые делители числа 6 в уравнение гиперболы, мы можем найти точки, которые также могут лежать на окружности:

• Если $x = 2$, то $y = -6/2 = -3$. Проверим для окружности: $2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$. Точка (2, -3) является решением.
• Если $x = 3$, то $y = -6/3 = -2$. Проверим для окружности: $3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$. Точка (3, -2) является решением.
• Если $x = -2$, то $y = -6/(-2) = 3$. Проверим для окружности: $(-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Точка (-2, 3) является решением.
• Если $x = -3$, то $y = -6/(-3) = 2$. Проверим для окружности: $(-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Точка (-3, 2) является решением.

Таким образом, система имеет четыре решения.
Ответ: (2, -3), (3, -2), (-2, 3), (-3, 2).

2.

Чтобы определить графически количество решений системы $ \begin{cases} |y| = x, \\ y = -x^2 + 5x + 1 \end{cases} $ , построим графики этих функций.

График уравнения $|y| = x$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат. Раскрывая модуль, получаем: $y = x$ при $y \ge 0$ (и, следовательно, $x \ge 0$) и $y = -x$ при $y < 0$ (и, следовательно, $x > 0$). График представляет собой "уголок", симметричный относительно оси Ox, с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вправо.

График уравнения $y = -x^2 + 5x + 1$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-1)} = 2.5$. $y_в = -(2.5)^2 + 5(2.5) + 1 = -6.25 + 12.5 + 1 = 7.25$. Вершина параболы находится в точке (2.5, 7.25).

Построим оба графика в одной системе координат и посчитаем количество точек пересечения.

Из графика видно, что парабола пересекает каждую из ветвей графика $|y|=x$ по одному разу. Таким образом, всего имеется две точки пересечения.
Проверим это аналитически.
1) Пересечение параболы с лучом $y=x$ (при $x \ge 0$): $x = -x^2 + 5x + 1 \Rightarrow x^2 - 4x - 1 = 0$. Корни: $x = 2 \pm \sqrt{5}$. Так как $x \ge 0$, подходит только корень $x = 2 + \sqrt{5}$. Одно решение.
2) Пересечение параболы с лучом $y=-x$ (при $x \ge 0$): $-x = -x^2 + 5x + 1 \Rightarrow x^2 - 6x - 1 = 0$. Корни: $x = 3 \pm \sqrt{10}$. Так как $x \ge 0$, подходит только корень $x = 3 + \sqrt{10}$. Второе решение.
Система имеет 2 решения.
Ответ: 2.

3.

Дана система линейных уравнений с параметром $a$: $ \begin{cases} 4x + ay = 16 - a, \\ ax + 16y = 16 \end{cases} $

Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Для системы вида $ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1, \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $ возможны три случая:

• Система имеет одно решение, если $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. (Прямые пересекаются)
• Система не имеет решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. (Прямые параллельны)
• Система имеет бесконечно много решений, если $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$. (Прямые совпадают)

В нашем случае $A_1=4, B_1=a, C_1=16-a$ и $A_2=a, B_2=16, C_2=16$.

Рассмотрим сначала условие, при котором система имеет не единственное решение (т.е. 0 или бесконечно много). Это происходит, когда $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
$\frac{4}{a} = \frac{a}{16}$ (при $a \neq 0$).
$a^2 = 4 \cdot 16 = 64$.
Отсюда $a = 8$ или $a = -8$.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Случай 1: $a = 8$
Проверим соотношение свободных членов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{16 - 8}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, система имеет бесконечно много решений.

Случай 2: $a = -8$
Проверим соотношение свободных членов:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{16 - (-8)}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, система не имеет решений.

Случай 3: $a \neq 8$ и $a \neq -8$
В этом случае условие $\frac{4}{a} = \frac{a}{16}$ не выполняется, следовательно, $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. Это означает, что система имеет одно единственное решение. (Это включает и случай $a=0$, при котором система имеет вид $\begin{cases} 4x=16 \\ 16y=16 \end{cases}$, что дает единственное решение $x=4, y=1$).

Ответ: если $a = 8$, то система имеет бесконечно много решений; если $a = -8$, то система не имеет решений; если $a \neq 8$ и $a \neq -8$, то система имеет одно решение.