Номер 14, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 14, страница 39.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\ 4y - 5x = 15; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x^2 - 5} + \sqrt{y^2 + 5} = 7, \\ x^2 + y^2 = 29; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + xy - 12y^2 = 0, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 90; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y + xy = -19, \\ xy(x + y) = -20. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{16}{15} \\ 4y - 5x = 15 \end{cases} $. Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Введем замену переменной в первом уравнении. Пусть $t = \frac{y}{x}$. Тогда $\frac{x}{y} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение примет вид: $t - \frac{1}{t} = \frac{16}{15}$.

Умножим обе части уравнения на $15t$, чтобы избавиться от знаменателей:

$15t^2 - 15 = 16t$

$15t^2 - 16t - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156$. Корень из дискриминанта $\sqrt{1156} = 34$.

Находим корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$

Теперь рассмотрим два случая, выполнив обратную замену.

Случай 1: $\frac{y}{x} = \frac{5}{3}$.

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{5}{3}x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы $4y - 5x = 15$:

$4 \left(\frac{5}{3}x\right) - 5x = 15$

$\frac{20}{3}x - 5x = 15$

$\frac{20x - 15x}{3} = 15$

$\frac{5x}{3} = 15 \implies 5x = 45 \implies x = 9$.

Теперь найдем $y$: $y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15$.

Первая пара решений: $(9, 15)$.

Случай 2: $\frac{y}{x} = -\frac{3}{5}$.

Выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{3}{5}x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы $4y - 5x = 15$:

$4 \left(-\frac{3}{5}x\right) - 5x = 15$

$-\frac{12}{5}x - 5x = 15$

$\frac{-12x - 25x}{5} = 15$

$\frac{-37x}{5} = 15 \implies -37x = 75 \implies x = -\frac{75}{37}$.

Теперь найдем $y$: $y = -\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{75}{37}\right) = \frac{3 \cdot 15}{37} = \frac{45}{37}$.

Вторая пара решений: $(-\frac{75}{37}, \frac{45}{37})$.

Ответ: $(9, 15)$, $(-\frac{75}{37}, \frac{45}{37})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 5} + \sqrt{y^2 + 5} = 7 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases} $. Область допустимых значений: $x^2 - 5 \ge 0 \implies x^2 \ge 5$.

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x^2 - 5}$ и $b = \sqrt{y^2 + 5}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда первое уравнение примет вид: $a + b = 7$.

Выразим $x^2$ и $y^2$ из замен: $a^2 = x^2 - 5 \implies x^2 = a^2 + 5$, и $b^2 = y^2 + 5 \implies y^2 = b^2 - 5$.

Подставим эти выражения во второе уравнение исходной системы:

$(a^2 + 5) + (b^2 - 5) = 29$

$a^2 + b^2 = 29$

Получим новую систему для переменных $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 29 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 7 - a$ и подставим во второе:

$a^2 + (7 - a)^2 = 29$

$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 29$

$2a^2 - 14a + 20 = 0$

$a^2 - 7a + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $a_1 = 2$ и $a_2 = 5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 2$.

Тогда $b = 7 - a = 7 - 2 = 5$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условию.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 5} = 2 \implies x^2 - 5 = 4 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

$\sqrt{y^2 + 5} = 5 \implies y^2 + 5 = 25 \implies y^2 = 20 \implies y = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.

Проверим ОДЗ: $x^2 = 9 > 5$. Условие выполняется. Это дает нам четыре пары решений: $(3, 2\sqrt{5})$, $(3, -2\sqrt{5})$, $(-3, 2\sqrt{5})$, $(-3, -2\sqrt{5})$.

Случай 2: $a = 5$.

Тогда $b = 7 - a = 7 - 5 = 2$. Оба значения неотрицательны.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 5} = 5 \implies x^2 - 5 = 25 \implies x^2 = 30 \implies x = \pm \sqrt{30}$.

$\sqrt{y^2 + 5} = 2 \implies y^2 + 5 = 4 \implies y^2 = -1$.

Уравнение $y^2 = -1$ не имеет действительных решений. Поэтому в этом случае решений нет.

Ответ: $(3, 2\sqrt{5})$, $(3, -2\sqrt{5})$, $(-3, 2\sqrt{5})$, $(-3, -2\sqrt{5})$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + xy - 12y^2 = 0 \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 90 \end{cases} $.

Первое уравнение является однородным уравнением второй степени. Проверим, является ли пара $(0,0)$ решением. Подстановка в первое уравнение дает $0=0$, а во второе $0=90$, что неверно. Значит, $y \neq 0$.

Разделим первое уравнение на $y^2$:

$\left(\frac{x}{y}\right)^2 + \frac{x}{y} - 12 = 0$

Введем замену $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3$.

Отсюда $x = 3y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(3y)^2 - 3(3y)y + y^2 = 90$

$2(9y^2) - 9y^2 + y^2 = 90$

$18y^2 - 9y^2 + y^2 = 90$

$10y^2 = 90 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.

Если $y = 3$, то $x = 3 \cdot 3 = 9$. Решение: $(9, 3)$.

Если $y = -3$, то $x = 3 \cdot (-3) = -9$. Решение: $(-9, -3)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -4$.

Отсюда $x = -4y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(-4y)^2 - 3(-4y)y + y^2 = 90$

$2(16y^2) + 12y^2 + y^2 = 90$

$32y^2 + 12y^2 + y^2 = 90$

$45y^2 = 90 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm \sqrt{2}$.

Если $y = \sqrt{2}$, то $x = -4\sqrt{2}$. Решение: $(-4\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = -4(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$. Решение: $(4\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(9, 3)$, $(-9, -3)$, $(-4\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $(4\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y + xy = -19 \\ xy(x+y) = -20 \end{cases} $.

Это симметрическая система. Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = xy$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = -19 \\ uv = -20 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (u+v)z + uv = 0$.

$z^2 - (-19)z + (-20) = 0$

$z^2 + 19z - 20 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $z_1 = 1$ и $z_2 = -20$.

Таким образом, возможны два случая для пары $(u, v)$.

Случай 1: $u = 1$ и $v = -20$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$x+y = 1$ и $xy = -20$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - t - 20 = 0$

Корни этого уравнения (например, по теореме Виета) $t_1 = 5$ и $t_2 = -4$.

Это дает две пары решений: $(5, -4)$ и $(-4, 5)$.

Случай 2: $u = -20$ и $v = 1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$x+y = -20$ и $xy = 1$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - (-20)t + 1 = 0$

$t^2 + 20t + 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 400 - 4 = 396$.

$\sqrt{D} = \sqrt{396} = \sqrt{36 \cdot 11} = 6\sqrt{11}$.

Корни уравнения: $t = \frac{-20 \pm 6\sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3\sqrt{11}$.

Это дает еще две пары решений: $(-10 + 3\sqrt{11}, -10 - 3\sqrt{11})$ и $(-10 - 3\sqrt{11}, -10 + 3\sqrt{11})$.

Ответ: $(5, -4)$, $(-4, 5)$, $(-10 + 3\sqrt{11}, -10 - 3\sqrt{11})$, $(-10 - 3\sqrt{11}, -10 + 3\sqrt{11})$.