Номер 21, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 21, страница 41.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Абсолютная и относительная погрешности

1. Запишите в виде двойного неравенства:

1) $x = 18 \pm 0,5$

2) $x = \frac{4}{5} \pm \frac{1}{6}$

3) $x = 20,6 \pm 5$

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа

$\frac{1}{9}$ числом:

1) 0,11;

2) 0,111.

3. В справочнике указано, что плотность хлора равна $3,124 \cdot 10^{-3}$ г/см$^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности хлора?

4. В справочнике указано, что масса атома серебра равна $1,79 \cdot 10^{-25}$ кг. Оцените относительную погрешность этого приближения.

Решение.

Запись вида $x = a \pm h$ эквивалентна двойному неравенству $a - h \le x \le a + h$.

1) Для $x = 18 \pm 0,5$ получаем неравенство: $18 - 0,5 \le x \le 18 + 0,5$, которое упрощается до $17,5 \le x \le 18,5$.
Ответ: $17,5 \le x \le 18,5$.

2) Для $x = \frac{4}{5} \pm \frac{1}{6}$ получаем неравенство: $\frac{4}{5} - \frac{1}{6} \le x \le \frac{4}{5} + \frac{1}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{4 \cdot 6}{30} - \frac{1 \cdot 5}{30} \le x \le \frac{4 \cdot 6}{30} + \frac{1 \cdot 5}{30}$, что дает $\frac{24 - 5}{30} \le x \le \frac{24 + 5}{30}$ или $\frac{19}{30} \le x \le \frac{29}{30}$.
Ответ: $\frac{19}{30} \le x \le \frac{29}{30}$.

3) Для $x = 20,6 \pm 5$ получаем неравенство: $20,6 - 5 \le x \le 20,6 + 5$, которое упрощается до $15,6 \le x \le 25,6$.
Ответ: $15,6 \le x \le 25,6$.

Абсолютная погрешность $\Delta$ равна модулю разности между точным значением $a$ и его приближённым значением $x$, то есть $\Delta = |a - x|$. В данном задании точное значение $a = \frac{1}{9}$.

1) Для приближённого значения $x = 0,11$:
$\Delta = |\frac{1}{9} - 0,11| = |\frac{1}{9} - \frac{11}{100}| = |\frac{100 \cdot 1 - 9 \cdot 11}{900}| = |\frac{100 - 99}{900}| = \frac{1}{900}$.
Ответ: $\frac{1}{900}$.

2) Для приближённого значения $x = 0,111$:
$\Delta = |\frac{1}{9} - 0,111| = |\frac{1}{9} - \frac{111}{1000}| = |\frac{1000 \cdot 1 - 9 \cdot 111}{9000}| = |\frac{1000 - 999}{9000}| = \frac{1}{9000}$.
Ответ: $\frac{1}{9000}$.

3. Приближённое значение плотности хлора равно $3,124 \cdot 10^{-3}$ г/см³. Точность, с которой указано значение, — это его абсолютная погрешность. Она определяется по последней значащей цифре числа. В числе (мантиссе) 3,124 последняя значащая цифра 4 стоит в разряде тысячных. Погрешность равна половине единицы этого разряда: $\frac{1}{2} \cdot 0,001 = 0,0005$. Учитывая множитель $10^{-3}$, точность для всего значения плотности составляет $0,0005 \cdot 10^{-3}$ г/см³. Это значение можно также записать в стандартном виде: $5 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.
Ответ: Точность составляет $0,0005 \cdot 10^{-3}$ г/см³ или $5 \cdot 10^{-7}$ г/см³.

4. Относительная погрешность приближения $\delta$ вычисляется как отношение абсолютной погрешности $\Delta$ к модулю самого значения $a$: $\delta = \frac{\Delta}{|a|}$.
Приближённое значение массы атома серебра $a = 1,79 \cdot 10^{-25}$ кг.
Сначала найдём абсолютную погрешность $\Delta$. В числе (мантиссе) 1,79 последняя значащая цифра 9 стоит в разряде сотых. Абсолютная погрешность для мантиссы равна половине единицы этого разряда: $\frac{1}{2} \cdot 0,01 = 0,005$.
Абсолютная погрешность для всей величины: $\Delta = 0,005 \cdot 10^{-25}$ кг.
Теперь вычислим относительную погрешность:
$\delta = \frac{0,005 \cdot 10^{-25}}{|1,79 \cdot 10^{-25}|} = \frac{0,005}{1,79} = \frac{5}{1790} \approx 0,00279...$
Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $\delta \approx 0,0028$. В процентах это составляет $0,0028 \cdot 100\% = 0,28\%$.
Ответ: Относительная погрешность составляет приблизительно 0,0028 или 0,28%.