Номер 20, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 20, страница 41.

Условие.

Самостоятельная работа № 20

Процентные расчёты

1. После двух последовательных снижений цены на 30% комнатные тапочки стали стоить 784 р. Найдите первоначальную цену тапочек.

2. Морская вода содержит 8% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 60 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 5% ?

3. Банк выдал предпринимателю кредит в сумме 500 000 р. на 2 года под некоторый процент годовых. Через год банковская ставка была уменьшена на 2% . В конце второго года предприниматель вернул банку 708 000 р. Под какой процент был выдан кредит в первый год?

Решение.

1. Пусть $x$ — первоначальная цена тапочек. Снижение цены на 30% означает, что новая цена составляет $100\% - 30\% = 70\%$ от старой. Чтобы найти новую цену, нужно умножить старую на коэффициент $0.7$.
После первого снижения цена стала: $x \cdot 0.7$.
После второго снижения цена стала: $(x \cdot 0.7) \cdot 0.7 = x \cdot 0.49$.
По условию, итоговая цена равна 784 р. Составим уравнение:
$x \cdot 0.49 = 784$
$x = \frac{784}{0.49}$
$x = 1600$
Таким образом, первоначальная цена тапочек была 1600 р.
Ответ: 1600 р.

2. Сначала найдем массу соли в исходном растворе. Морская вода содержит 8% соли, значит в 60 кг воды содержится:
$m_{соли} = 60 \cdot 0.08 = 4.8$ кг.
При добавлении пресной воды масса соли в растворе не меняется, меняется только общая масса раствора. Пусть $x$ кг — масса добавленной пресной воды. Тогда новая масса раствора станет $60 + x$ кг.
Концентрация соли в новом растворе должна составить 5%, или 0.05. Составим уравнение, используя формулу концентрации (масса вещества / масса раствора):
$\frac{4.8}{60 + x} = 0.05$
$4.8 = 0.05 \cdot (60 + x)$
$4.8 = 3 + 0.05x$
$4.8 - 3 = 0.05x$
$1.8 = 0.05x$
$x = \frac{1.8}{0.05} = \frac{180}{5} = 36$
Следовательно, нужно добавить 36 кг пресной воды.
Ответ: 36 кг.

3. Пусть $p$ — процентная ставка в первый год, выраженная в долях (например, 10% это 0.1). Сумма кредита — $S = 500\,000$ р.
Через год сумма долга с начисленными процентами составит:
$S_1 = S \cdot (1 + p) = 500000 \cdot (1 + p)$
Во второй год процентная ставка была уменьшена на 2%, то есть стала $(p - 0.02)$. В конце второго года итоговая сумма долга составила $S_2 = 708\,000$ р. Эта сумма получается начислением нового процента на сумму долга после первого года:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + (p - 0.02)) = S_1 \cdot (0.98 + p)$
Подставим выражение для $S_1$:
$708000 = 500000 \cdot (1 + p) \cdot (0.98 + p)$
Разделим обе части уравнения на 500000:
$\frac{708000}{500000} = (1 + p)(0.98 + p)$
$1.416 = 0.98 + p + 0.98p + p^2$
$1.416 = p^2 + 1.98p + 0.98$
Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$p^2 + 1.98p + 0.98 - 1.416 = 0$
$p^2 + 1.98p - 0.436 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (1.98)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.436) = 3.9204 + 1.744 = 5.6644$
$\sqrt{D} = \sqrt{5.6644} = 2.38$
Найдем корни уравнения:
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1.98 + 2.38}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1.98 - 2.38}{2} = \frac{-4.36}{2} = -2.18$
Так как процентная ставка не может быть отрицательной, подходит только корень $p_1 = 0.2$.
Переведем это значение в проценты: $0.2 \cdot 100\% = 20\%$.
Ответ: 20%.