Номер 15, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 15, страница 39.

Условие.

Самостоятельная работа № 15 Неравенства с двумя переменными

Постройте график неравенства:

1) $y \ge x^2 + x - 2;$

2) $xy < 6;$

3) $(2x + y + 1)(x - y + 3) > 0;$

4) $\frac{y + \frac{1}{2}x^2}{|y + 2|} > 0.$

Решение.

1) $y \ge x^2 + x - 2$

Графиком данного неравенства является область на координатной плоскости. Границей этой области служит график функции $y = x^2 + x - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$
$y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$
Вершина находится в точке $(-0.5; -2.25)$.

Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(-2; 0)$.

Так как неравенство имеет вид $y \ge \dots$, решением будет множество точек, расположенных на параболе и выше неё. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница (сама парабола) включается в решение и изображается сплошной линией.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных на параболе $y = x^2 + x - 2$ и в области над ней.

2) $xy < 6$

Границей области является график уравнения $xy = 6$, или $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Поскольку неравенство строгое ($<$), граница (гипербола) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Чтобы определить, какую область закрашивать, возьмем пробную точку, не лежащую на гиперболе, например, начало координат $(0; 0)$. Подставим ее в неравенство:
$0 \cdot 0 < 6$
$0 < 6$
Неравенство верное. Следовательно, решением является область, содержащая начало координат, то есть пространство между ветвями гиперболы.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных между ветвями гиперболы $y = \frac{6}{x}$.

3) $(2x + y + 1)(x - y + 3) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} 2x + y + 1 > 0 \\ x - y + 3 > 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} 2x + y + 1 < 0 \\ x - y + 3 < 0 \end{cases}$

Преобразуем неравенства, выразив $y$:

1) $\begin{cases} y > -2x - 1 \\ y < x + 3 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} y < -2x - 1 \\ y > x + 3 \end{cases}$

Границами областей являются прямые $y = -2x - 1$ и $y = x + 3$. Эти прямые делят плоскость на четыре области. Так как неравенство строгое ($>$), сами прямые не входят в решение и изображаются пунктирными линиями.

Решением является объединение двух областей (вертикальных углов), образованных пересечением этих прямых:
- Область, где точки лежат одновременно выше прямой $y = -2x - 1$ и ниже прямой $y = x + 3$.
- Область, где точки лежат одновременно ниже прямой $y = -2x - 1$ и выше прямой $y = x + 3$.

Ответ: Две открытые вертикальные области, образованные пересечением прямых $y = -2x - 1$ и $y = x + 3$, которые не содержат оси $Oy$. Границы областей в решение не входят.

4) $\frac{y + \frac{1}{2}x^2}{|y + 2|} > 0$

Знаменатель дроби $|y + 2|$ всегда неотрицателен. Дробь имеет смысл, если знаменатель не равен нулю, то есть $|y + 2| \neq 0$, откуда $y \neq -2$.

При условии $y \neq -2$, знаменатель $|y + 2|$ всегда строго положителен. Следовательно, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} y + \frac{1}{2}x^2 > 0 \\ y \neq -2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $y > -\frac{1}{2}x^2$.

Таким образом, решением является множество точек, удовлетворяющих двум условиям:
1. Точки должны лежать выше параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которой направлены вниз. Так как неравенство строгое ($>$), сама парабола не включается в решение и изображается пунктирной линией.
2. Точки не должны лежать на прямой $y = -2$. Эта прямая также изображается пунктирной линией (или "выколотой").

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных выше параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$, за исключением точек, лежащих на прямой $y = -2$. Границы (парабола и прямая) в решение не входят.