Номер 13, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 13, страница 38.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} y^2 - xy + x = 2 \\ 5y + x = 12 \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - 1)(y + 2) = 0 \\ x^2 + 2y^2 - 4xy = 17 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 5xy = -4 \\ 3xy + 16y^2 = 13 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2y^2 + xy^3 = 192 \\ x^3y + x^2y^2 = 96 \end{cases}$

38

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} y^2 - xy + x = 2, \\ 5y + x = 12. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = 12 - 5y$.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы: $y^2 - (12 - 5y)y + (12 - 5y) = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $y^2 - 12y + 5y^2 + 12 - 5y = 2$ $6y^2 - 17y + 12 - 2 = 0$ $6y^2 - 17y + 10 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 12 - 5y_1 = 12 - 5 \cdot 2 = 12 - 10 = 2$.

Если $y_2 = \frac{5}{6}$, то $x_2 = 12 - 5y_2 = 12 - 5 \cdot \frac{5}{6} = 12 - \frac{25}{6} = \frac{72 - 25}{6} = \frac{47}{6}$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, 2)$, $(\frac{47}{6}, \frac{5}{6})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} (x - 1)(y + 2) = 0, \\ x^2 + 2y^2 - 4xy = 17. \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Подставим $x = 1$ во второе уравнение системы: $1^2 + 2y^2 - 4 \cdot 1 \cdot y = 17$ $1 + 2y^2 - 4y = 17$ $2y^2 - 4y - 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2: $y^2 - 2y - 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Таким образом, в первом случае мы получаем два решения: $(1, 4)$ и $(1, -2)$.

Случай 2: $y + 2 = 0$, откуда $y = -2$.

Подставим $y = -2$ во второе уравнение системы: $x^2 + 2(-2)^2 - 4x(-2) = 17$ $x^2 + 2 \cdot 4 + 8x = 17$ $x^2 + 8x + 8 - 17 = 0$ $x^2 + 8x - 9 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.

Таким образом, во втором случае мы получаем два решения: $(1, -2)$ и $(-9, -2)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем три уникальные пары.

Ответ: $(1, 4)$, $(1, -2)$, $(-9, -2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 5xy = -4, \\ 3xy + 16y^2 = 13. \end{cases} $

Это система однородных уравнений. Чтобы решить ее, избавимся от свободных членов. Для этого умножим первое уравнение на 13, а второе на 4: $ \begin{cases} 13(x^2 + 5xy) = -4 \cdot 13, \\ 4(3xy + 16y^2) = 13 \cdot 4. \end{cases} $ $ \begin{cases} 13x^2 + 65xy = -52, \\ 12xy + 64y^2 = 52. \end{cases} $

Сложим полученные уравнения: $(13x^2 + 65xy) + (12xy + 64y^2) = -52 + 52$ $13x^2 + 77xy + 64y^2 = 0$

Заметим, что $y \neq 0$, иначе из второго исходного уравнения получили бы $0 = 13$. Поэтому можно разделить полученное уравнение на $y^2$: $13(\frac{x}{y})^2 + 77(\frac{x}{y}) + 64 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $13t^2 + 77t + 64 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. $D = 77^2 - 4 \cdot 13 \cdot 64 = 5929 - 3328 = 2601 = 51^2$.

$t_1 = \frac{-77 + 51}{2 \cdot 13} = \frac{-26}{26} = -1$.

$t_2 = \frac{-77 - 51}{2 \cdot 13} = \frac{-128}{26} = -\frac{64}{13}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим $x = -y$ в первое исходное уравнение: $(-y)^2 + 5(-y)y = -4$ $y^2 - 5y^2 = -4$ $-4y^2 = -4$ $y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -1$. Получаем решение $(-1, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 1$. Получаем решение $(1, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{64}{13}$, откуда $x = -\frac{64}{13}y$.

Подставим это выражение в первое исходное уравнение: $(-\frac{64}{13}y)^2 + 5(-\frac{64}{13}y)y = -4$ $\frac{4096}{169}y^2 - \frac{320}{13}y^2 = -4$ $\frac{4096 - 320 \cdot 13}{169}y^2 = -4$ $\frac{4096 - 4160}{169}y^2 = -4$ $\frac{-64}{169}y^2 = -4$ $y^2 = \frac{4 \cdot 169}{64} = \frac{169}{16} \implies y_3 = \frac{13}{4}, y_4 = -\frac{13}{4}$.

Если $y_3 = \frac{13}{4}$, то $x_3 = -\frac{64}{13} \cdot \frac{13}{4} = -16$. Получаем решение $(-16, \frac{13}{4})$.

Если $y_4 = -\frac{13}{4}$, то $x_4 = -\frac{64}{13} \cdot (-\frac{13}{4}) = 16$. Получаем решение $(16, -\frac{13}{4})$.

Ответ: $(-1, 1)$, $(1, -1)$, $(-16, \frac{13}{4})$, $(16, -\frac{13}{4})$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2y^2 + xy^3 = 192, \\ x^3y + x^2y^2 = 96. \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении: $ \begin{cases} xy^2(x + y) = 192, \\ x^2y(x + y) = 96. \end{cases} $

Заметим, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x+y \neq 0$, так как в противном случае левые части уравнений обращались бы в ноль, а правые - нет.

Разделим первое уравнение на второе: $\frac{xy^2(x + y)}{x^2y(x + y)} = \frac{192}{96}$

Сократим дробь в левой части: $\frac{y}{x} = 2$

Отсюда получаем $y = 2x$. Подставим это соотношение во второе исходное уравнение: $x^3(2x) + x^2(2x)^2 = 96$ $2x^4 + x^2(4x^2) = 96$ $2x^4 + 4x^4 = 96$ $6x^4 = 96$ $x^4 = \frac{96}{6}$ $x^4 = 16$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$.

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Получили два решения системы.

Ответ: $(2, 4)$, $(-2, -4)$.