Номер 18, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 18, страница 40.

Условие.

Самостоятельная работа № 18

Неравенства между средними величинами.

Неравенство Коши — Буняковского

1. Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство

$\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \ge 5.$

2. При $y > 7$ докажите неравенство $y + \frac{1}{y-7} \ge 9.$

3. Известно, что $a^2 + b^2 = 5$, $c^2 + d^2 = 20$. Докажите, что $|ac + bd| \le 10.$

4. Известно, что $x + y = 2$. Докажите, что $\sqrt{x^2 + 16y^2} + \sqrt{y^2 + 16x^2} \ge 5\sqrt{2}.$

Решение.

1.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$, которое гласит: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ положительные, то выражения $x = \frac{a}{20b}$ и $y = \frac{125b}{a}$ также положительны. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{20b} \cdot \frac{125b}{a}}$

Упростим выражение под корнем в правой части неравенства:

$\frac{a}{20b} \cdot \frac{125b}{a} = \frac{125ab}{20ab} = \frac{125}{20} = \frac{25}{4}$

Подставим полученное значение обратно в неравенство:

$\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{25}{4}} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5$

Таким образом, мы получили $\frac{a}{20b} + \frac{125b}{a} \ge 5$, что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

2.

Для доказательства преобразуем левую часть неравенства. Поскольку по условию $y > 7$, то $y-7 > 0$.

Представим $y$ в виде $(y-7) + 7$:

$y + \frac{1}{y-7} = (y-7) + 7 + \frac{1}{y-7} = \left((y-7) + \frac{1}{y-7}\right) + 7$

Теперь применим неравенство Коши ($x+z \ge 2\sqrt{xz}$) к положительным числам $x = y-7$ и $z = \frac{1}{y-7}$:

$(y-7) + \frac{1}{y-7} \ge 2\sqrt{(y-7) \cdot \frac{1}{y-7}} = 2\sqrt{1} = 2$

Мы получили, что сумма в скобках не меньше 2. Подставим этот результат в наше преобразованное выражение:

$\left((y-7) + \frac{1}{y-7}\right) + 7 \ge 2 + 7 = 9$

Следовательно, $y + \frac{1}{y-7} \ge 9$, что и требовалось доказать. Ответ: Неравенство доказано.

3.

Для доказательства воспользуемся неравенством Коши — Буняковского. Для двух пар действительных чисел $(a, b)$ и $(c, d)$ оно имеет вид:

$(ac + bd)^2 \le (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

Подставим в это неравенство известные из условия значения $a^2 + b^2 = 5$ и $c^2 + d^2 = 20$:

$(ac + bd)^2 \le 5 \cdot 20$

$(ac + bd)^2 \le 100$

Извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$\sqrt{(ac + bd)^2} \le \sqrt{100}$

$|ac + bd| \le 10$

Неравенство доказано. Ответ: Неравенство доказано.

4.

Для доказательства используем геометрическую интерпретацию и неравенство треугольника (неравенство Минковского). Левая часть неравенства представляет собой сумму длин двух векторов.

Рассмотрим на координатной плоскости три точки: $O(0,0)$, $A(x, 4y)$ и $B(x+y, 4y+4x)$.

Длина отрезка $OA$ (или длина вектора $\vec{OA}$) равна:

$|\vec{OA}| = \sqrt{(x-0)^2 + (4y-0)^2} = \sqrt{x^2 + 16y^2}$

Длина отрезка $AB$ (или длина вектора $\vec{AB}$) равна:

$|\vec{AB}| = \sqrt{((x+y)-x)^2 + ((4y+4x)-4y)^2} = \sqrt{y^2 + (4x)^2} = \sqrt{y^2 + 16x^2}$

Таким образом, левая часть исходного неравенства — это сумма длин отрезков $OA$ и $AB$.

Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины третьей стороны: $OA + AB \ge OB$.

Найдем длину отрезка $OB$:

$|\vec{OB}| = \sqrt{(x+y-0)^2 + (4y+4x-0)^2} = \sqrt{(x+y)^2 + (4(x+y))^2}$

$|\vec{OB}| = \sqrt{(x+y)^2 + 16(x+y)^2} = \sqrt{17(x+y)^2} = \sqrt{17}|x+y|$

По условию $x+y = 2$, значит:

$|\vec{OB}| = \sqrt{17} \cdot 2 = 2\sqrt{17}$

Итак, мы доказали, что $\sqrt{x^2+16y^2} + \sqrt{y^2+16x^2} \ge 2\sqrt{17}$.

Осталось сравнить полученный результат $2\sqrt{17}$ с правой частью исходного неравенства $5\sqrt{2}$. Для этого сравним их квадраты:

$(2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$

$(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$

Поскольку $68 > 50$, то $2\sqrt{17} > 5\sqrt{2}$.

Следовательно, $\sqrt{x^2 + 16y^2} + \sqrt{y^2 + 16x^2} \ge 2\sqrt{17} > 5\sqrt{2}$, что и доказывает исходное неравенство. Ответ: Неравенство доказано.