Номер 11, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 11, страница 38.

Условие.

Самостоятельная работа № 11 Уравнение с двумя переменными и его график

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0;$

2) $16x^2 - y^2 = 0;$

3) $|y - 3| = \sqrt{x};$

4) $\frac{x^2 + y^2 - 4}{x^2 - 1} = 0.$

2. Решите уравнение $(x^2 - 6x + 12)(y^2 - 10y + 28) = 9.$

Решение.

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$

Для определения типа графика преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 5 = 0$.
Дополним до полных квадратов: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 5 = 0$.
Свернем квадраты: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$.
Упростим: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$.
Это уравнение окружности с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом $r = \sqrt{0} = 0$. Окружность с нулевым радиусом представляет собой одну точку.
Следовательно, графиком уравнения является точка с координатами $(1; -2)$.
Ответ: Графиком является точка $(1; -2)$.

2) $16x^2 - y^2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(4x)^2 - y^2 = 0$
$(4x - y)(4x + y) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два: $4x - y = 0$ или $4x + y = 0$.
Выразим $y$ в каждом случае: $y = 4x$ и $y = -4x$.
Графиком данного уравнения является объединение графиков этих двух линейных функций, то есть пара прямых, пересекающихся в начале координат $(0; 0)$.
Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых $y = 4x$ и $y = -4x$.

3) $|y - 3| = \sqrt{x}$

Определим область допустимых значений. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, $x \ge 0$.
Левая и правая части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(|y - 3|)^2 = (\sqrt{x})^2$
$(y - 3)^2 = x$
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(0; 3)$ и осью симметрии, параллельной оси Ox. Ветви параболы направлены вправо. Условие $x \ge 0$ выполняется автоматически, так как $(y-3)^2$ всегда неотрицательно.
Ответ: Графиком является парабола $(y - 3)^2 = x$ с вершиной в точке $(0; 3)$, ветви которой направлены вправо.

4) $\frac{x^2 + y^2 - 4}{x^2 - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Запишем это в виде системы:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $x^2 + y^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.
Из второго условия получаем $x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Таким образом, мы должны из графика окружности $x^2 + y^2 = 4$ исключить точки, абсциссы которых равны $1$ и $-1$.
Найдем ординаты этих точек:
При $x = 1$: $1^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm\sqrt{3}$. Исключаем точки $(1; \sqrt{3})$ и $(1; -\sqrt{3})$.
При $x = -1$: $(-1)^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm\sqrt{3}$. Исключаем точки $(-1; \sqrt{3})$ и $(-1; -\sqrt{3})$.
Ответ: Графиком является окружность $x^2 + y^2 = 4$ с "выколотыми" точками $(1; \sqrt{3})$, $(1; -\sqrt{3})$, $(-1; \sqrt{3})$ и $(-1; -\sqrt{3})$.

---

2. Решите уравнение $(x^2 - 6x + 12)(y^2 - 10y + 28) = 9$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части уравнения отдельно. Выделим полные квадраты.
Для первого множителя:
$x^2 - 6x + 12 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 12 = (x - 3)^2 + 3$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x - 3)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение первого множителя равно $3$ (при $x=3$). То есть, $x^2 - 6x + 12 \ge 3$.
Для второго множителя:
$y^2 - 10y + 28 = (y^2 - 10y + 25) - 25 + 28 = (y - 5)^2 + 3$.
Аналогично, $(y - 5)^2 \ge 0$, и наименьшее значение второго множителя равно $3$ (при $y=5$). То есть, $y^2 - 10y + 28 \ge 3$.
Перемножив эти два неравенства, получаем, что произведение множителей в левой части уравнения всегда больше или равно $3 \cdot 3 = 9$.
$(x^2 - 6x + 12)(y^2 - 10y + 28) \ge 9$.
Согласно условию задачи, это произведение равно $9$. Равенство возможно только в том случае, когда оба множителя принимают свои наименьшие значения, то есть равны $3$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 6x + 12 = 3 \\ y^2 - 10y + 28 = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} (x - 3)^2 + 3 = 3 \\ (y - 5)^2 + 3 = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y - 5)^2 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x - 3 = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases}$
Единственным решением уравнения является пара чисел $(3; 5)$.
Ответ: $(3; 5)$.