Номер 9, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 9, страница 37.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Решение неравенств методом интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x+4)(x-9)(x-17) < 0$;

2) $(x-8)^8(5x+1)^5(11-x) > 0$;

3) $\frac{3x}{x^2 - 3x + 2} + \frac{5}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 2}$;

4) $(x^2 - 25)\sqrt{x^2 - 9} \ge 0$.

2. Найдите множество решений неравенства $|x - a|(3x^2 - 2x - 1) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

1)

Решим неравенство $(x + 4)(x - 9)(x - 17) < 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 4)(x - 9)(x - 17)$. Приравняв каждый множитель к нулю, получим корни: $x_1 = -4$, $x_2 = 9$, $x_3 = 17$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 9)$, $(9; 17)$ и $(17; +\infty)$.

Определим знак выражения $f(x)$ на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 20$:
$(20 + 4)(20 - 9)(20 - 17) = 24 \cdot 11 \cdot 3 > 0$.
Знак на интервале $(17; +\infty)$ — «+».

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знак при переходе через каждый корень будет меняться. Таким образом, знаки на интервалах чередуются: `(-)`, `(+)`, `(-)`, `(+)`.
Интервал $(-\infty; -4)$: знак «-».
Интервал $(-4; 9)$: знак «+».
Интервал $(9; 17)$: знак «-».
Интервал $(17; +\infty)$: знак «+».

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (9; 17)$.

2)

Решим неравенство $(x - 8)^8(5x + 1)^5(11 - x) > 0$.

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициент при $x$ в каждом множителе положителен. Вынесем `-1` из скобки $(11 - x)$:
$(x - 8)^8(5x + 1)^5(-1)(x - 11) > 0$.
Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x - 8)^8(5x + 1)^5(x - 11) < 0$.

Найдем нули левой части:
$x - 8 = 0 \implies x = 8$ (корень кратности 8, четная кратность).
$5x + 1 = 0 \implies x = -1/5$ (корень кратности 5, нечетная кратность).
$x - 11 = 0 \implies x = 11$ (корень кратности 1, нечетная кратность).

Отметим точки $-1/5$, $8$, $11$ на числовой оси и определим знаки. На крайнем правом интервале $(11; +\infty)$ выражение положительно. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.
Интервал $(11; +\infty)$: знак «+».
Интервал $(8; 11)$: знак «-» (переход через корень $x=11$ нечетной кратности).
Интервал $(-1/5; 8)$: знак «-» (переход через корень $x=8$ четной кратности).
Интервал $(-\infty; -1/5)$: знак «+» (переход через корень $x=-1/5$ нечетной кратности).

Нам нужно найти, где $(x - 8)^8(5x + 1)^5(x - 11) < 0$, то есть выбрать интервалы со знаком «-». Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Ответ: $x \in (-1/5; 8) \cup (8; 11)$.

3)

Решим неравенство $\frac{3x}{x^2 - 3x + 2} + \frac{5}{x - 1} \ge \frac{4}{x - 2}$.

Разложим знаменатель $x^2 - 3x + 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2=0$ это $x=1$ и $x=2$, поэтому $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$, $x \neq 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:
$\frac{3x}{(x - 1)(x - 2)} + \frac{5}{x - 1} - \frac{4}{x - 2} \ge 0$
$\frac{3x + 5(x - 2) - 4(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} \ge 0$
$\frac{3x + 5x - 10 - 4x + 4}{(x - 1)(x - 2)} \ge 0$
$\frac{4x - 6}{(x - 1)(x - 2)} \ge 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$4x - 6 = 0 \implies x = 1.5$.
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Отметим точки $1$, $1.5$, $2$ на числовой оси. Точки $1$ и $2$ (нули знаменателя) выколотые, точка $1.5$ (нуль числителя) закрашенная. Определим знаки на полученных интервалах. На $(2; +\infty)$ выражение положительно. Все корни имеют нечетную кратность, поэтому знаки чередуются.
Интервал $(2; +\infty)$: знак «+».
Интервал $(1.5; 2)$: знак «-».
Интервал $(1; 1.5)$: знак «+».
Интервал $(-\infty; 1)$: знак «-».

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (1; 1.5] \cup (2; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $(x^2 - 25)\sqrt{x^2 - 9} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 9 \ge 0 \implies (x - 3)(x + 3) \ge 0$.
Решением является $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.

На ОДЗ множитель $\sqrt{x^2 - 9}$ всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая:

1. $\sqrt{x^2 - 9} = 0$. Это выполняется при $x^2 - 9 = 0$, то есть при $x = -3$ и $x = 3$. В этих точках все выражение равно нулю, и неравенство $0 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x = -3$ и $x = 3$ — решения.

2. $\sqrt{x^2 - 9} > 0$. Это выполняется при $x^2 - 9 > 0$, то есть на интервалах $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. На этих интервалах можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x^2 - 9}$, знак неравенства не изменится:
$x^2 - 25 \ge 0 \implies (x - 5)(x + 5) \ge 0$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.
Это решение полностью входит в рассматриваемую область $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup \{-3\} \cup \{3\} \cup [5; +\infty)$.

2.

Найдем множество решений неравенства $|x - a|(3x^2 - 2x - 1) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Множитель $|x - a|$ всегда неотрицателен: $|x - a| \ge 0$ для любых $x$ и $a$.

Произведение неотрицательного множителя $|x - a|$ и множителя $(3x^2 - 2x - 1)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:
1) Когда $(3x^2 - 2x - 1) \le 0$.
2) Когда $|x - a| = 0$, так как в этом случае все произведение равно нулю, что удовлетворяет неравенству.

Рассмотрим первый случай: $3x^2 - 2x - 1 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -1/3$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$.
Поскольку ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1/3; 1]$.

Рассмотрим второй случай: $|x - a| = 0$.
Это уравнение равносильно $x - a = 0$, откуда $x = a$. Это значение $x$ является решением при любом значении параметра $a$.

Общее множество решений неравенства — это объединение множеств, полученных в обоих случаях: $x \in [-1/3; 1] \cup \{a\}$.

Теперь опишем это множество в зависимости от положения точки $a$ относительно отрезка $[-1/3; 1]$:

• Если $a$ принадлежит отрезку $[-1/3; 1]$ (то есть $-1/3 \le a \le 1$), то точка $a$ уже содержится в этом отрезке, и их объединение есть сам отрезок.
• Если $a$ не принадлежит отрезку $[-1/3; 1]$ (то есть $a < -1/3$ или $a > 1$), то решение представляет собой отрезок и отдельную точку $a$.

Ответ:
При $-1/3 \le a \le 1$ решением является $x \in [-1/3; 1]$.
При $a < -1/3$ или $a > 1$ решением является $x \in \{a\} \cup [-1/3; 1]$.