Номер 3, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 3, страница 34.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Чётные и нечётные функции

1. Функция $f$ нечётная. Может ли выполняться равенство $f(2) \cdot f(-2) = 1$?

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x^4 - x^3}{x - 1}$;

2) $y = x^6 - 2x$;

3) $y = \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x}$.

3. Известно, что $\min_{[-5;-1]} f(x) = -3$, $\max_{[-5;-1]} f(x) = 2$. Найдите $\min_{[1;5]} f(x)$ и $\max_{[1;5]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 + ax^2 + a^2 + 4a - 5 = 0$ имеет единственный корень?

Решение.

1.

По определению, функция $f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Подставим это свойство в данное равенство $f(2) \cdot f(-2) = 1$.

Так как $f$ нечётная, то $f(-2) = -f(2)$. Получаем:

$f(2) \cdot (-f(2)) = 1$

$- (f(2))^2 = 1$

$(f(2))^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное равенство не может выполняться для действительной функции $f$.

Ответ: Нет, не может.

2.

1) $y = \frac{x^4 - x^3}{x - 1}$

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; \infty)$.

Эта область не является симметричной относительно начала координат (например, точка $-1$ принадлежит области определения, а точка $1$ — нет). Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: Функция не является ни чётной, ни нечётной.

2) $y = x^6 - 2x$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; \infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^6 - 2(-x) = x^6 + 2x$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(x) = x^6 - 2x$

$-y(x) = -(x^6 - 2x) = -x^6 + 2x$

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида).

Ответ: Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $y = \sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x}$

Найдём область определения. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ 4 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$

Область определения $D(y) = [-4, 4]$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \sqrt{4 - (-x)} - \sqrt{4 + (-x)} = \sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}$.

Сравним с $-y(x)$:

$-y(x) = -(\sqrt{4 - x} - \sqrt{4 + x}) = \sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}$.

Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция нечётная.

3.

1) $f$ — чётная функция;

По определению, чётная функция удовлетворяет условию $f(x) = f(-x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат.

Промежуток $[1, 5]$ симметричен промежутку $[-5, -1]$ относительно начала координат. Если $x \in [1, 5]$, то $-x \in [-5, -1]$.

Из-за чётности функции, множество значений, которые она принимает на промежутке $[1, 5]$, совпадает с множеством значений на промежутке $[-5, -1]$.

Нам известно, что на промежутке $[-5, -1]$ минимальное значение функции равно $-3$, а максимальное равно $2$.

Следовательно, на промежутке $[1, 5]$ минимальное и максимальное значения будут такими же.

$\min_{[1;5]} f(x) = \min_{[-5;-1]} f(x) = -3$

$\max_{[1;5]} f(x) = \max_{[-5;-1]} f(x) = 2$

Ответ: $\min_{[1;5]} f(x) = -3$, $\max_{[1;5]} f(x) = 2$.

2) $f$ — нечётная функция.

По определению, нечётная функция удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$. Это означает, что её график симметричен относительно начала координат.

Пусть $x$ принадлежит промежутку $[1, 5]$. Тогда $-x$ принадлежит промежутку $[-5, -1]$.

Значение функции в точке $x$ равно $f(x) = -f(-x)$. Это означает, что множество значений функции на промежутке $[1, 5]$ является множеством, противоположным по знаку множеству значений на промежутке $[-5, -1]$.

Множество значений на $[-5, -1]$ есть отрезок $[-3, 2]$.

Тогда множество значений на $[1, 5]$ есть отрезок $[-2, 3]$.

Следовательно:

$\min_{[1;5]} f(x) = -\max_{[-5;-1]} f(x) = -2$

$\max_{[1;5]} f(x) = -\min_{[-5;-1]} f(x) = -(-3) = 3$

Ответ: $\min_{[1;5]} f(x) = -2$, $\max_{[1;5]} f(x) = 3$.

4.

Рассмотрим уравнение $x^4 + ax^2 + a^2 + 4a - 5 = 0$.

Пусть $f(x) = x^4 + ax^2 + a^2 + 4a - 5$. Проверим эту функцию на чётность:

$f(-x) = (-x)^4 + a(-x)^2 + a^2 + 4a - 5 = x^4 + ax^2 + a^2 + 4a - 5 = f(x)$.

Функция $f(x)$ является чётной. Это означает, что если $x_0 \neq 0$ является корнем уравнения $f(x)=0$, то и $-x_0$ также является корнем. Чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этот корень был равен своей противоположности, то есть $x_0 = -x_0$, что возможно только при $x_0 = 0$.

Таким образом, единственный корень уравнения может быть только $x = 0$. Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это возможно:

$0^4 + a \cdot 0^2 + a^2 + 4a - 5 = 0$

$a^2 + 4a - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$. Корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -5$.

Теперь необходимо проверить, действительно ли при этих значениях $a$ уравнение будет иметь единственный корень.

Случай 1: $a = 1$

Уравнение принимает вид:

$x^4 + x^2 + 1^2 + 4(1) - 5 = 0$

$x^4 + x^2 = 0$

$x^2(x^2 + 1) = 0$

Отсюда либо $x^2 = 0$, что даёт корень $x=0$, либо $x^2 + 1 = 0$, что даёт $x^2 = -1$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Следовательно, при $a=1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Случай 2: $a = -5$

Уравнение принимает вид:

$x^4 - 5x^2 + (-5)^2 + 4(-5) - 5 = 0$

$x^4 - 5x^2 + 25 - 20 - 5 = 0$

$x^4 - 5x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 5) = 0$

Отсюда либо $x^2 = 0$ (корень $x=0$), либо $x^2 - 5 = 0$ (корни $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$). Следовательно, при $a=-5$ уравнение имеет три корня: $0, \sqrt{5}, -\sqrt{5}$. Это не удовлетворяет условию задачи.

Единственное значение параметра, при котором уравнение имеет единственный корень, это $a=1$.

Ответ: $a=1$.