Номер 35, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 35, страница 32.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Суммирование

1. Найдите сумму $ \frac{3}{4} + \frac{31}{16} + \frac{191}{64} + \dots + \frac{4^n \cdot n - 1}{4^n} $

2. Найдите сумму $ \left(3 - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(3^2 - \frac{1}{3^2}\right)^2 + \left(3^3 - \frac{1}{3^3}\right)^2 + \dots + \left(3^n - \frac{1}{3^n}\right)^2 $

3. Найдите сумму $ \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \dots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} $

Решение.

1. Обозначим искомую сумму как $S_n$. Общий член ряда $a_k$ для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид: $a_k = \frac{4^k \cdot k - 1}{4^k}$.

Преобразуем выражение для общего члена, разделив числитель на знаменатель:

$a_k = \frac{4^k \cdot k}{4^k} - \frac{1}{4^k} = k - (\frac{1}{4})^k$

Тогда сумма $S_n$ представляет собой сумму членов $a_k$ от $k=1$ до $n$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k - (\frac{1}{4})^k)$

Эту сумму можно разбить на две части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^k$

Первая часть, $\sum_{k=1}^{n} k$, является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии (первых $n$ натуральных чисел), которая вычисляется по формуле:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

Вторая часть, $\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^k$, является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{4}$ и знаменателем $q = \frac{1}{4}$. Её сумма вычисляется по формуле $S_{геом} = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$:

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^k = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{4^n})$

Теперь объединим обе части для нахождения итоговой суммы $S_n$:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{4^n}) = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

Ответ: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n}$

2. Обозначим искомую сумму как $S_n$. Общий член ряда $a_k$ для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид: $a_k = (3^k - \frac{1}{3^k})^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$a_k = (3^k)^2 - 2 \cdot 3^k \cdot \frac{1}{3^k} + (\frac{1}{3^k})^2 = 3^{2k} - 2 + \frac{1}{3^{2k}} = 9^k - 2 + (\frac{1}{9})^k$

Тогда сумма $S_n$ равна:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (9^k - 2 + (\frac{1}{9})^k)$

Разобьем сумму на три части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 9^k - \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{9})^k$

Вычислим каждую сумму отдельно:

1. $\sum_{k=1}^{n} 9^k$ — это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 9$ и знаменателем $q = 9$.

$ \sum_{k=1}^{n} 9^k = 9 \cdot \frac{9^n - 1}{9 - 1} = \frac{9}{8}(9^n - 1)$

2. $\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

3. $\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{9})^k$ — это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{9}$ и знаменателем $q = \frac{1}{9}$.

$\sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{9})^k = \frac{1}{9} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{9})^n}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{9})^n}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8}(1 - \frac{1}{9^n})$

Объединим результаты:

$S_n = \frac{9}{8}(9^n - 1) - 2n + \frac{1}{8}(1 - \frac{1}{9^n}) = \frac{9^{n+1}}{8} - \frac{9}{8} - 2n + \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \cdot 9^n} = \frac{9^{n+1}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 9^n} - 2n - 1$

Ответ: $S_n = \frac{9}{8}(9^n - 1) - 2n + \frac{1}{8}(1 - 9^{-n})$ или в другом виде $S_n = \frac{9^{n+1}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 9^n} - 2n - 1$

3. Обозначим искомую сумму как $S_n$. Общий член ряда $a_k$ для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид: $a_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$.

Данный тип суммы является телескопической. Для ее вычисления представим общий член в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов):

$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{A}{3k-1} + \frac{B}{3k+2}$

$1 = A(3k+2) + B(3k-1)$

При $k = 1/3$, получаем $1 = A(1+2) \implies A = 1/3$.

При $k = -2/3$, получаем $1 = B(-2-1) \implies B = -1/3$.

Таким образом, общий член ряда можно записать как:

$a_k = \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2})$

Теперь запишем сумму $S_n$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}(\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2})$

Расшифруем сумму для нескольких первых и последнего членов:

$S_n = \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \dots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2}) \right]$

Как видно, все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Остаются только первый член из первой скобки и последний член из последней скобки:

$S_n = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и упростим:

$S_n = \frac{1}{3} (\frac{3n+2-2}{2(3n+2)}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3n}{2(3n+2)} = \frac{n}{2(3n+2)}$

Ответ: $S_n = \frac{n}{2(3n+2)}$