Номер 34, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 2 - номер 34, страница 31.

Условие.

Самостоятельная работа № 34

Представление о пределе последовательности.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии,

у которой модуль знаменателя меньше единицы

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 100; -20; 4; ... ;

2) 20, $4\sqrt{5}$, 4, ...

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,888... ;

2) 5,1(26).

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $q$, где $|q|<1$, сумма членов с нечётными номерами равна –32, а сумма членов с чётными номерами равна 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение.

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 100; -20; 4; ...

Это бесконечная геометрическая прогрессия. Найдем её первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член прогрессии $b_1 = 100$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-20}{100} = -\frac{1}{5}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$, прогрессия является сходящейся, и её сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:
$S = \frac{100}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{100}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{100}{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}} = \frac{100}{\frac{6}{5}} = 100 \cdot \frac{5}{6} = \frac{500}{6} = \frac{250}{3}$.
Ответ: $\frac{250}{3}$.

2) 20, $4\sqrt{5}$, 4, ...

Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$ данной прогрессии.
Первый член прогрессии $b_1 = 20$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{4\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{\sqrt{5}}{5}| = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $ \frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5}}{5} < \frac{3}{5} $, следовательно, $|q| < 1$. Прогрессия сходящаяся.
Найдем сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{20}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{20}{\frac{5-\sqrt{5}}{5}} = \frac{20 \cdot 5}{5-\sqrt{5}} = \frac{100}{5-\sqrt{5}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(5+\sqrt{5})$:
$S = \frac{100(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{100(5+\sqrt{5})}{5^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{100(5+\sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{100(5+\sqrt{5})}{20} = 5(5+\sqrt{5}) = 25 + 5\sqrt{5}$.
Ответ: $25 + 5\sqrt{5}$.

2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) 0,888...

Число $0,888...$ является чистой периодической десятичной дробью $0,(8)$.
Его можно представить как сумму бесконечной геометрической прогрессии:
$0,888... = 0,8 + 0,08 + 0,008 + ...$
Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,8$, а знаменатель $q = 0,1$.
Сумма этой прогрессии равна:
$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,8}{1-0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$.

2) 5,1(26)

Число $5,1(26)$ является смешанной периодической десятичной дробью. Представим его в виде суммы:
$5,1(26) = 5,1 + 0,0(26) = 5,1 + 0,0262626...$
Часть $0,0262626...$ можно представить как сумму бесконечной геометрической прогрессии:
$0,026 + 0,00026 + 0,0000026 + ...$
Первый член этой прогрессии $b_1 = 0,026$, а знаменатель $q = 0,01$.
Сумма этой прогрессии: $S = \frac{0,026}{1-0,01} = \frac{0,026}{0,99} = \frac{26}{990}$.
Теперь сложим все части числа:
$5,1(26) = 5,1 + \frac{26}{990} = \frac{51}{10} + \frac{26}{990}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 990:
$\frac{51 \cdot 99}{990} + \frac{26}{990} = \frac{5049 + 26}{990} = \frac{5075}{990}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{5075 \div 5}{990 \div 5} = \frac{1015}{198}$.
Ответ: $\frac{1015}{198}$.

3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где $|q|<1$, сумма членов с нечётными номерами равна -32, а сумма членов с чётными номерами равна 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Последовательность членов: $b_1, b_1q, b_1q^2, b_1q^3, ...$
Сумма членов с нечётными номерами ($S_{неч}$) — это сумма прогрессии $b_1, b_1q^2, b_1q^4, ...$. У этой новой прогрессии первый член $b'_1 = b_1$, а знаменатель $q' = q^2$.
Сумма равна: $S_{неч} = \frac{b_1}{1-q^2}$. По условию, $S_{неч} = -32$.
Получаем первое уравнение: $\frac{b_1}{1-q^2} = -32$.
Сумма членов с чётными номерами ($S_{чёт}$) — это сумма прогрессии $b_1q, b_1q^3, b_1q^5, ...$. У этой прогрессии первый член $b''_1 = b_1q$, а знаменатель $q'' = q^2$.
Сумма равна: $S_{чёт} = \frac{b_1q}{1-q^2}$. По условию, $S_{чёт} = 8$.
Получаем второе уравнение: $\frac{b_1q}{1-q^2} = 8$.
Составим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q^2} = -32 \\ \frac{b_1q}{1-q^2} = 8 \end{cases}$
Заметим, что левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на $q$. Поэтому мы можем подставить -32 вместо $\frac{b_1}{1-q^2}$ во второе уравнение:
$(-32) \cdot q = 8$
Отсюда находим $q$:
$q = \frac{8}{-32} = -\frac{1}{4}$.
Теперь, зная $q$, найдем $b_1$ из первого уравнения:
$\frac{b_1}{1-(-\frac{1}{4})^2} = -32$
$\frac{b_1}{1-\frac{1}{16}} = -32$
$\frac{b_1}{\frac{15}{16}} = -32$
$b_1 = -32 \cdot \frac{15}{16} = -2 \cdot 15 = -30$.
Ответ: первый член равен -30, знаменатель равен $-\frac{1}{4}$.