Номер 6, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 6, страница 36.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций $y = f(|x|)$ и $y = |f(x)|$

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x} - 5|$

2) $y = \sqrt{|x| - 5}$

3) $y = \sqrt{|x - 5|}$

4) $y = \sqrt{|x - 5| - 5}$

2. Функция $f$ такова, что $D(f) = [-1; 5)$ и $E(f) = [-8; 6)$. Найдите область определения и область значений функции $|f(|x|)|$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x| - 3| = x - a$ имеет три корня?

Решение.

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x} - 5|$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов:

1. Сначала строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0,0)$ и расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$.
2. Затем строим график функции $y = \sqrt{x} - 5$. Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом вниз на 5 единиц вдоль оси OY. Начальная точка графика перемещается из $(0,0)$ в $(0,-5)$. График пересекает ось OX в точке, где $y=0$, то есть $\sqrt{x} - 5 = 0$, откуда $\sqrt{x} = 5$ и $x = 25$. Точка пересечения с осью OX — $(25, 0)$.
3. Наконец, строим график функции $y = |\sqrt{x} - 5|$. Этот график получается из графика $y = \sqrt{x} - 5$ следующим образом: часть графика, которая находится выше или на оси OX (где $y \ge 0$, то есть при $x \ge 25$), остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси OX (где $y < 0$, то есть при $0 \le x < 25$), симметрично отражается относительно оси OX.

Таким образом, точка $(0,-5)$ переходит в точку $(0,5)$. График начинается в точке $(0,5)$, убывает до точки $(25,0)$, а затем возрастает.
Ответ: График функции $y = |\sqrt{x} - 5|$ начинается в точке $(0,5)$, опускается до оси OX, касаясь ее в точке $(25,0)$, а затем поднимается вверх, следуя по форме графика $y = \sqrt{x}-5$ для $x \ge 25$.

2) $y = \sqrt{|x|} - 5$

Для построения этого графика воспользуемся правилом построения графика функции $y = f(|x|)$:

1. Сначала строим график функции $y = \sqrt{x} - 5$ для $x \ge 0$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, это ветвь параболы, смещенная на 5 единиц вниз, с началом в точке $(0,-5)$ и пересечением оси OX в точке $(25,0)$.
2. Так как функция $y = \sqrt{|x|} - 5$ является четной (значение не меняется при замене $x$ на $-x$), ее график симметричен относительно оси OY.
3. Для получения всего графика, мы отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси OY.

В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Обе ветви выходят из общей точки минимума $(0,-5)$. Правая ветвь идет вверх и вправо, пересекая ось OX в точке $(25,0)$. Левая ветвь идет вверх и влево, пересекая ось OX в точке $(-25,0)$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{|x|} - 5$ симметричен относительно оси OY, имеет минимум в точке $(0,-5)$ и пересекает ось OX в точках $(-25,0)$ и $(25,0)$.

3) $y = \sqrt{|x - 5|}$

Построение этого графика также можно разбить на этапы:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Строим график $y = \sqrt{|x|}$. Для этого часть графика $y = \sqrt{x}$ (для $x \ge 0$) оставляем без изменений и добавляем ее зеркальное отражение относительно оси OY. Получаем "галочку" с вершиной в точке $(0,0)$.
3. Строим график $y = \sqrt{|x - 5|}$. Этот график получается из графика $y = \sqrt{|x|}$ сдвигом вправо на 5 единиц вдоль оси OX.

Альтернативный способ - раскрыть модуль:
Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, функция принимает вид $y = \sqrt{x-5}$. Это график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 5 единиц вправо.
Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, функция принимает вид $y = \sqrt{-(x-5)} = \sqrt{5-x}$. Это график $y = \sqrt{-x}$, сдвинутый на 5 единиц вправо (или $y=\sqrt{x}$, отраженный относительно OY и сдвинутый на 5 вправо).
В обоих случаях получаем две ветви, выходящие из точки $(5,0)$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{|x - 5|}$ симметричен относительно прямой $x=5$, имеет минимум в точке $(5,0)$ и состоит из двух ветвей, идущих вверх и расходящихся вправо и влево от этой точки.

4) $y = \sqrt{|x - 5|} - 5$

Этот график легко построить, используя результат предыдущего пункта:

1. Мы уже знаем, как выглядит график функции $y = \sqrt{|x - 5|}$. Это "галочка" с вершиной в точке $(5,0)$, симметричная относительно прямой $x=5$.
2. График функции $y = \sqrt{|x - 5|} - 5$ получается из графика $y = \sqrt{|x - 5|}$ сдвигом вниз на 5 единиц вдоль оси OY.

Вершина графика переместится из точки $(5,0)$ в точку $(5,-5)$. График будет пересекать ось OX. Найдем точки пересечения, решив уравнение $\sqrt{|x - 5|} - 5 = 0$:
$\sqrt{|x - 5|} = 5$
$|x - 5| = 25$
Отсюда $x - 5 = 25$ или $x - 5 = -25$.
Получаем $x_1 = 30$ и $x_2 = -20$.
Точки пересечения с осью OX: $(-20,0)$ и $(30,0)$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{|x - 5|} - 5$ является графиком из пункта 3), сдвинутым на 5 единиц вниз. Его вершина (точка минимума) находится в точке $(5,-5)$, а ось OX он пересекает в точках $(-20,0)$ и $(30,0)$.

---

2.

Дана функция $f$ с областью определения $D(f) = [-1; 5]$ и областью значений $E(f) = [-8; 6]$. Нужно найти область определения и область значений функции $g(x) = |f(|x|)|$.

Область определения $D(g)$:

Функция $g(x)$ определена, если аргумент функции $f$, то есть $|x|$, принадлежит области определения $D(f)$.
Таким образом, должно выполняться условие: $|x| \in [-1; 5]$.
Это двойное неравенство: $-1 \le |x| \le 5$.
Неравенство $|x| \ge -1$ верно для любого действительного числа $x$, так как модуль всегда неотрицателен.
Неравенство $|x| \le 5$ равносильно системе $-5 \le x \le 5$.
Объединяя условия, получаем, что область определения функции $g(x)$ есть отрезок $[-5; 5]$.
$D(g) = [-5; 5]$.

Область значений $E(g)$:

1. Найдем область значений промежуточной функции $h(x) = f(|x|)$.
Когда $x$ пробегает все значения из области определения $D(g) = [-5; 5]$, выражение $|x|$ пробегает значения из отрезка $[0; 5]$.
Значит, область значений $h(x) = f(|x|)$ — это множество значений функции $f(t)$ для $t \in [0; 5]$.
Поскольку отрезок $[0; 5]$ является частью области определения $D(f) = [-1; 5]$, область значений $f(t)$ на $[0; 5]$ является подмножеством всей области значений $E(f) = [-8; 6]$. Так как в условии не дано дополнительной информации о поведении функции $f$, будем предполагать, что на отрезке $[0; 5]$ функция $f$ принимает все свои возможные значения из $E(f)$. Таким образом, область значений $f(|x|)$ совпадает с $E(f) = [-8; 6]$.

2. Теперь найдем область значений функции $g(x) = |h(x)| = |f(|x|)|$.
Мы должны найти множество значений $|y|$ для всех $y \in [-8; 6]$.
Наименьшее значение модуля будет $0$ (когда $y=0$, что возможно, так как $0 \in [-8; 6]$).
Наибольшее значение модуля будет $\max(|-8|, |6|) = 8$.
Следовательно, модуль принимает все значения от $0$ до $8$ включительно.
$E(g) = [0; 8]$.

Ответ: Область определения $D(|f(|x|)|) = [-5; 5]$, область значений $E(|f(|x|)|) = [0; 8]$.

---

3.

Рассмотрим уравнение $|2|x| - 3| = x - a$. Для нахождения числа корней этого уравнения в зависимости от параметра $a$ используем графический метод. Перепишем уравнение в виде $|2|x| - 3| - x = -a$ или $x - |2|x| - 3| = a$. Удобнее представить уравнение как равенство двух функций: $y_1(x) = |2|x| - 3|$ и $y_2(x) = x - a$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков этих двух функций.

1. Построим график функции $y_1(x) = |2|x| - 3|$.
а) График $y = 2x - 3$ — прямая.
б) График $y = 2|x| - 3$ получается из графика $y = 2x - 3$ для $x \ge 0$ и его симметричного отражения относительно оси OY. Это "галочка" с вершиной в точке $(0,-3)$ и пересечениями с осью OX в точках $(1.5, 0)$ и $(-1.5, 0)$.
в) График $y_1(x) = |2|x| - 3|$ получается из предыдущего графика отражением отрицательной части (между $x=-1.5$ и $x=1.5$) симметрично относительно оси OX. Вершина $(0,-3)$ переходит в $(0,3)$.
Итоговый график $y_1(x)$ имеет форму буквы "W" с вершинами в точках $(-1.5, 0)$, $(0, 3)$ и $(1.5, 0)$.

2. График функции $y_2(x) = x - a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) равным 1. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по вертикали ($-a$ — это y-координата точки пересечения с осью OY).

3. Найдем число точек пересечения. Количество решений меняется, когда прямая $y_2(x)$ проходит через вершины ("изломы") графика $y_1(x)$.
а) Прямая проходит через вершину $(0, 3)$.
Подставляем координаты в уравнение прямой: $3 = 0 - a$, откуда $a = -3$.
При $a=-3$ прямая $y = x+3$ проходит через точку $(0,3)$. Анализ показывает, что есть еще две точки пересечения с "лучами" W-графика в точках $x=-2$ и $x=6$. Всего 3 корня.
б) Прямая проходит через вершину $(-1.5, 0)$.
Подставляем координаты: $0 = -1.5 - a$, откуда $a = -1.5$.
При $a=-1.5$ прямая $y = x+1.5$ проходит через точку $(-1.5,0)$ и пересекает две другие ветви графика. Всего 3 корня.
в) Прямая проходит через вершину $(1.5, 0)$.
Подставляем координаты: $0 = 1.5 - a$, откуда $a = 1.5$.
При $a=1.5$ прямая $y = x-1.5$ касается графика в этой точке и больше его не пересекает. Всего 1 корень.

Анализируя промежуточные положения прямой, можно установить, что:
- при $a < -3$ — 2 корня;
- при $a = -3$ — 3 корня;
- при $-3 < a < -1.5$ — 4 корня;
- при $a = -1.5$ — 3 корня;
- при $-1.5 < a < 1.5$ — 2 корня;
- при $a = 1.5$ — 1 корень;
- при $a > 1.5$ — 0 корней.

Уравнение имеет три корня при двух значениях параметра $a$.
Ответ: $a = -3$ и $a = -1.5$.