Номер 28, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 28, страница 44.

Условие.

Самостоятельная работа № 28

Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики

1. В классе учится 28 человек, из которых 6 — отличники. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 ученика класса окажутся отличниками?

2. На полке стоят 10 книг по математике, 8 книг по физике и 5 книг по биологии. Наугад выбирают 11 книг. Какова вероятность того, что среди выбранных книг окажутся 6 книг по математике, 3 книги по физике и 2 книги по биологии?

3. Наугад выбирают 4 буквы из слова «СТЕКЛО». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «СЕЛО»?

Решение.

1. Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

Событие A заключается в том, что все 3 выбранных ученика — отличники.

Общее число способов выбрать 3 учеников из 28 — это число сочетаний из 28 по 3:

$n = C_{28}^3 = \frac{28!}{3!(28-3)!} = \frac{28!}{3!25!} = \frac{28 \times 27 \times 26}{3 \times 2 \times 1} = 28 \times 9 \times 13 = 3276$.

В классе 6 отличников. Число способов выбрать 3 отличника из 6 — это число сочетаний из 6 по 3:

$m = C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

Теперь находим искомую вероятность:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{20}{3276}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$P(A) = \frac{20 \div 4}{3276 \div 4} = \frac{5}{819}$.

Ответ: $\frac{5}{819}$.

2. Сначала найдем общее количество книг на полке: $10$ (математика) + $8$ (физика) + $5$ (биология) = $23$ книги.

Событие A: среди 11 наугад выбранных книг окажутся 6 по математике, 3 по физике и 2 по биологии.

Общее число способов выбрать 11 книг из 23 равно числу сочетаний $n = C_{23}^{11}$.

$n = C_{23}^{11} = \frac{23!}{11!(23-11)!} = \frac{23!}{11!12!} = 1352078$.

Число благоприятных исходов $m$ находим, используя правило произведения в комбинаторике. Необходимо выбрать 6 книг по математике из 10, 3 книги по физике из 8 и 2 книги по биологии из 5.

$m = C_{10}^6 \times C_8^3 \times C_5^2$.

Вычислим каждое число сочетаний:

$C_{10}^6 = C_{10}^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$.

$C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

$C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Теперь найдем число благоприятных исходов:

$m = 210 \times 56 \times 10 = 117600$.

Вероятность события A равна $P(A) = \frac{m}{n}$:

$P(A) = \frac{117600}{1352078}$.

Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$m = 117600 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^2$.

$n = 1352078 = 2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23$.

Теперь сократим дробь:

$P(A) = \frac{2^5 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{2 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23} = \frac{2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7}{13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23} = \frac{16 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7}{96577} = \frac{8400}{96577}$.

Ответ: $\frac{8400}{96577}$.

3. В слове «СТЕКЛО» 6 различных букв: С, Т, Е, К, Л, О.

Событие A: из 4 наугад выбранных букв можно составить слово «СЕЛО».

Для того чтобы можно было составить слово «СЕЛО», необходимо, чтобы были выбраны именно буквы С, Е, Л, О (порядок выбора не важен, важен состав набора).

Общее число способов выбрать 4 буквы из 6 — это число сочетаний из 6 по 4:

$n = C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Существует только один способ выбрать нужный набор букв {С, Е, Л, О}. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность события A вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$:

$P(A) = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$.