Номер 35, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 35, страница 47.

Условие.

Самостоятельная работа № 35

Суммирование

1. Найдите сумму

$\frac{6}{5} + \frac{51}{25} + \frac{376}{125} + \dots + \frac{5^n \cdot n + 1}{5^n}.$

2. Найдите сумму

$\left(5 + \frac{1}{5}\right)^2 + \left(5^2 + \frac{1}{5^2}\right)^2 + \left(5^3 + \frac{1}{5^3}\right)^2 + \dots + \left(5^n + \frac{1}{5^n}\right)^2.$

3. Найдите сумму

$\frac{1}{5 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 17} + \frac{1}{17 \cdot 23} + \dots + \frac{1}{(6n - 1) \cdot (6n + 5)}.$

Решение.

1. Найдите сумму

Общий член ряда $a_k$ для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид:

$a_k = \frac{5^k \cdot k + 1}{5^k} = \frac{5^k \cdot k}{5^k} + \frac{1}{5^k} = k + \left(\frac{1}{5}\right)^k$

Сумма $S_n$ представляет собой сумму $n$ членов:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left(k + \left(\frac{1}{5}\right)^k\right)$

Эту сумму можно разбить на две части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{5}\right)^k$

Первая часть – это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

Вторая часть – это сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{5}$ и знаменателем $q = \frac{1}{5}$:

$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{5}\right)^k = b_1 \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{5})^n}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \frac{1}{5^n}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right)$

Складывая обе части, получаем окончательный результат:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right)$

Ответ: $S_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{4}\left(1 - \frac{1}{5^n}\right)$

2. Найдите сумму

Общий член ряда $a_k$ для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид:

$a_k = \left(5^k + \frac{1}{5^k}\right)^2$

Раскроем квадрат суммы:

$a_k = (5^k)^2 + 2 \cdot 5^k \cdot \frac{1}{5^k} + \left(\frac{1}{5^k}\right)^2 = 5^{2k} + 2 + \frac{1}{5^{2k}} = 25^k + 2 + \left(\frac{1}{25}\right)^k$

Сумма $S_n$ представляет собой сумму $n$ членов:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left(25^k + 2 + \left(\frac{1}{25}\right)^k\right)$

Эту сумму можно разбить на три части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 25^k + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{25}\right)^k$

Первая часть – это сумма геометрической прогрессии с $b_1 = 25$ и $q = 25$:

$\sum_{k=1}^{n} 25^k = 25 \frac{25^n - 1}{25 - 1} = \frac{25(25^n - 1)}{24}$

Вторая часть – это сумма константы:

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

Третья часть – это сумма геометрической прогрессии с $b'_1 = \frac{1}{25}$ и $q' = \frac{1}{25}$:

$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{25}\right)^k = \frac{1}{25} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{25})^n}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{1}{25} \cdot \frac{1 - 25^{-n}}{\frac{24}{25}} = \frac{1 - 25^{-n}}{24}$

Складывая все три части, получаем окончательный результат:

$S_n = \frac{25(25^n - 1)}{24} + 2n + \frac{1 - 25^{-n}}{24}$

Ответ: $S_n = \frac{25(25^n - 1)}{24} + 2n + \frac{1 - 25^{-n}}{24}$

3. Найдите сумму

Общий член ряда $a_k$ для $k=1, 2, ..., n$ имеет вид:

$a_k = \frac{1}{(6k-1)(6k+5)}$

Для нахождения суммы воспользуемся методом разложения на простейшие дроби. Представим общий член в виде:

$\frac{1}{(6k-1)(6k+5)} = \frac{A}{6k-1} + \frac{B}{6k+5}$

Приводя к общему знаменателю, получаем тождество:

$1 = A(6k+5) + B(6k-1)$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, подставим значения $k$, которые обнуляют один из знаменателей. При $k = 1/6$: $1 = A(6 \cdot \frac{1}{6}+5) \implies 1 = A(1+5) \implies 6A = 1 \implies A = \frac{1}{6}$. При $k = -5/6$: $1 = B(6 \cdot (-\frac{5}{6})-1) \implies 1 = B(-5-1) \implies -6B = 1 \implies B = -\frac{1}{6}$.

Таким образом, общий член ряда можно представить в виде:

$a_k = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{6k-1} - \frac{1}{6k+5}\right)$

Сумма $S_n$ является телескопической:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{6}\left(\frac{1}{6k-1} - \frac{1}{6k+5}\right) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{6k-1} - \frac{1}{6k+5}\right)$

Распишем сумму:

$S_n = \frac{1}{6} \left[ \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{17}\right) + \left(\frac{1}{17} - \frac{1}{23}\right) + \dots + \left(\frac{1}{6n-1} - \frac{1}{6n+5}\right) \right]$

Промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний член:

$S_n = \frac{1}{6} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6n+5}\right)$

Упростим выражение:

$S_n = \frac{1}{6} \left(\frac{6n+5-5}{5(6n+5)}\right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{6n}{5(6n+5)} = \frac{n}{5(6n+5)}$

Ответ: $S_n = \frac{n}{5(6n+5)}$