Номер 4, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 4, страница 49.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Построение графиков функций $y = kf(x)$ и $y = f(kx)$

1. Известно, что точка $F(4; 2)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

2. На рисунке 8 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = -f(x)$;

2) $y = f(-x)$.

Рис. 8

3. Число $-6$ является нулём убывающей функции $f$. Решите уравнение $f(2x) = 0$.

4. Постройте график функции: 1) $y = \frac{1}{4}x^2$; 2) $y = \sqrt{-5x}$.

Решение.

1.

Поскольку точка $F(4; 2)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = 4$ и $y = 2$ в это уравнение:

$2 = a \cdot 4^2$

$2 = a \cdot 16$

Отсюда находим значение $a$:

$a = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Ответ: $a = \frac{1}{8}$.

2.

Для построения графиков выполним геометрические преобразования исходного графика функции $y = f(x)$.

1) y = -f(x);

График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (Ox). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(x, -y)$.

Например, ключевые точки исходного графика $(-3, 2)$, $(-1, 3)$, $(1, -1)$, $(3, -2)$ преобразуются в точки $(-3, -2)$, $(-1, -3)$, $(1, 1)$, $(3, 2)$ соответственно. Точки на оси Ox $(-5, 0)$, $(-2, 0)$, $(5, 0)$ остаются на месте. Соединяя полученные точки, строим новый график.

2) y = f(-x)

График функции $y = f(-x)$ получается из графика $y = f(x)$ симметричным отражением относительно оси ординат (Oy). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика переходит в точку $(-x, y)$.

Например, ключевые точки исходного графика $(-3, 2)$, $(-1, 3)$, $(1, -1)$, $(3, -2)$ преобразуются в точки $(3, 2)$, $(1, 3)$, $(-1, -1)$, $(-3, -2)$ соответственно.

Ответ: 1) График $y=-f(x)$ является симметричным отражением исходного графика относительно оси Ox. 2) График $y=f(-x)$ является симметричным отражением исходного графика относительно оси Oy.

3.

Из условия известно, что число -6 является нулём функции $f$. Это означает, что $f(-6) = 0$.

Так как функция $f$ убывающая, она может иметь только один нуль. Следовательно, равенство $f(z) = 0$ выполняется только при $z = -6$.

Чтобы решить уравнение $f(2x) = 0$, необходимо, чтобы аргумент функции был равен -6. Таким образом, получаем уравнение:

$2x = -6$

Решаем его:

$x = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x = -3$.

4.

1) y = $\frac{1}{4}x^2$;

Графиком этой функции является парабола.

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ ($a = 1/4$) положителен.
• Парабола симметрична относительно оси Oy.

Для построения графика найдём координаты нескольких точек:

$x$	-4	-2	0	2	4
$y$	4	1	0	1	4

2) y = $\sqrt{-5x}$.

Графиком этой функции является ветвь параболы.

• Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $-5x \ge 0$, откуда $x \le 0$.
• Область значений функции: значение арифметического корня неотрицательно, то есть $y \ge 0$.
• Начало графика — точка $(0, 0)$. График расположен во второй координатной четверти.

Для построения графика найдём координаты нескольких точек:

$x$	-5	-1	-0,2	0
$y$	5	$\sqrt{5} \approx 2.24$	1	0

Ответ: 1) График функции — парабола с вершиной в точке (0,0) и ветвями, направленными вверх. 2) График функции — ветвь параболы, выходящая из точки (0,0) и расположенная во второй координатной четверти.