Номер 7, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 7, страница 51.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Квадратичная функция, её график и свойства

1. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) $f(x) \ge 0$; б) $f(x) < 0$;

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) $[-5; 2]$; б) $[3; 5]$.

2. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $a > 0$, $c < 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.

3. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 + 2ax + a^2 + 4a + 16 = 0$ принимает наименьшее значение?

Решение.

1.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 + 4x - 5$ найдём её ключевые характеристики.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_v = f(x_v) = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.

Вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 + 4(0) - 5 = -5$. Точка пересечения $(0, -5)$.

С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Точки пересечения $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.

Построение графика:

Отмечаем на координатной плоскости вершину $(-2, -9)$, точки пересечения с осями $(-5, 0)$, $(1, 0)$, $(0, -5)$. Также можно найти симметричную точке $(0, -5)$ точку относительно оси симметрии $x=-2$, это будет точка $(-4, -5)$. Соединив эти точки плавной линией, получаем параболу.

Используя свойства функции и её график, ответим на вопросы:

1) область значений функции;

Так как ветви параболы направлены вверх, а её вершина находится в точке с ординатой -9, область значений функции — это все числа, не меньшие -9.

Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция убывает на промежутке до своей вершины ($x=-2$) и возрастает после неё.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; -2]$, возрастает на $[-2; +\infty)$.

3) множество решений неравенства: а) $f(x) \geq 0$; б) $f(x) < 0$;

a) $f(x) \geq 0$: Функция принимает неотрицательные значения на участках, где её график находится на оси Ox или выше неё. Это происходит при $x$, меньших или равных первому корню (-5), и при $x$, больших или равных второму корню (1).

б) $f(x) < 0$: Функция принимает отрицательные значения на участке, где её график находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями -5 и 1.

Ответ: а) $x \in (-\infty; -5] \cup [1; +\infty)$; б) $x \in (-5; 1)$.

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) $[-5; 2]$; б) $[3; 5]$.

a) На промежутке $[-5; 2]$:

Вершина параболы $x_v = -2$ принадлежит этому промежутку. Так как ветви направлены вверх, наименьшее значение функции на этом отрезке будет в вершине: $f_{min} = f(-2) = -9$.

Наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Сравним значения функции в точках -5 и 2: $f(-5) = 0$; $f(2) = 2^2 + 4(2) - 5 = 7$. Таким образом, $f_{max} = 7$.

б) На промежутке $[3; 5]$:

Вершина параболы $x_v = -2$ не принадлежит этому промежутку. На данном промежутке (который находится правее вершины) функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет в левой граничной точке, а наибольшее — в правой: $f_{min} = f(3) = 3^2 + 4(3) - 5 = 16$; $f_{max} = f(5) = 5^2 + 4(5) - 5 = 40$.

Ответ: а) наименьшее значение -9, наибольшее значение 7; б) наименьшее значение 16, наибольшее значение 40.

2.

Нужно схематически изобразить график функции $y = ax^2 + bx + c$ при условиях $a > 0$, $c < 0$, $-\frac{b}{2a} > 0$.

Проанализируем заданные условия:

1. $a > 0$: Коэффициент при $x^2$ положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. $c < 0$: Свободный член $c$ — это значение функции при $x=0$. Так как $c < 0$, график пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой (ниже начала координат).

3. $-\frac{b}{2a} > 0$: Это выражение является абсциссой вершины параболы ($x_v$). Условие $x_v > 0$ означает, что вершина параболы находится в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

Из этих условий следует, что ордината вершины $y_v$ будет меньше $c$, то есть $y_v < c < 0$. Таким образом, вершина параболы находится в IV координатной четверти. Так как минимальное значение функции отрицательно, парабола будет пересекать ось Ox в двух точках. По теореме Виета, произведение корней $x_1x_2 = \frac{c}{a} < 0$ (корни разных знаков), а их сумма $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} > 0$ (положительный корень по модулю больше отрицательного).

Ответ: График представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, вершина которой находится в IV координатной четверти. Парабола пересекает ось Oy в отрицательной точке и ось Ox в двух точках: одной отрицательной и одной положительной, причем положительный корень находится дальше от нуля, чем отрицательный.

3.

Рассмотрим уравнение $x^2 + 2ax + a^2 + 4a + 16 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \geq 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4a + 16) = 4a^2 - 4a^2 - 16a - 64 = -16a - 64$.

Условие существования корней $D \geq 0$:

$-16a - 64 \geq 0$

$-16a \geq 64$

$a \leq -4$

Таким образом, уравнение имеет действительные корни только при $a \leq -4$.

Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену уравнения.

Обозначим произведение корней как функцию от $a$:

$P(a) = x_1 \cdot x_2 = a^2 + 4a + 16$.

Нам нужно найти, при каком значении параметра $a$ это произведение принимает наименьшее значение, с учетом условия $a \leq -4$.

Рассмотрим функцию $P(a) = a^2 + 4a + 16$. Это квадратичная функция от $a$, её график — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины этой параболы:

$a_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Вершина параболы $P(a)$ находится в точке $a = -2$. Однако, мы ищем наименьшее значение на промежутке $a \in (-\infty; -4]$.

Поскольку $a_v = -2$ не входит в данный промежуток, а парабола $P(a)$ убывает на промежутке $(-\infty; -2]$, то на промежутке $(-\infty; -4]$ функция $P(a)$ также является убывающей.

Убывающая на промежутке $(-\infty; -4]$ функция принимает свое наименьшее значение на правой границе этого промежутка, то есть при $a = -4$.

Ответ: $a = -4$.