Номер 12, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 12, страница 53.

Условие.

Самостоятельная работа № 12

Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными

1. Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}$

2. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} |y| = -x, \\ y = x^2 + 4x - 1. \end{cases}$

3. Сколько решений имеет система уравнений

$\begin{cases} ax + 5y = 20 - a, \\ 20x + ay = 20 \end{cases}$

в зависимости от значения параметра а?

Решение.

1. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}$

Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат и найдем их точки пересечения.

1. Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 10$. Это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$.

2. Второе уравнение: $xy = 3$. Это уравнение можно представить в виде $y = \frac{3}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Составим таблицу значений для построения гиперболы:
x: -3, -1, 1, 3
y: -1, -3, 3, 1

3. Построение и решение. Построим окружность и гиперболу в одной системе координат.
Из графика видно, что окружность и гипербола пересекаются в четырех точках. Определим их координаты. Точки пересечения в I четверти: (1, 3) и (3, 1). Точки пересечения в III четверти: (-1, -3) и (-3, -1).
Проверка:
Для (1, 3): $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$; $1 \cdot 3 = 3$. Верно.
Для (3, 1): $3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$; $3 \cdot 1 = 3$. Верно.
Для (-1, -3): $(-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$; $(-1) \cdot (-3) = 3$. Верно.
Для (-3, -1): $(-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$; $(-3) \cdot (-1) = 3$. Верно.

Ответ: (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1).

2. Определите графически количество решений системы уравнений $\begin{cases} |y| = -x, \\ y = x^2 + 4x - 1. \end{cases}$

Для определения количества решений построим графики каждого уравнения.

1. Первое уравнение: $|y| = -x$. По определению модуля, $-x \ge 0$, следовательно, $x \le 0$. График будет расположен только в левой полуплоскости. Уравнение распадается на два случая:
а) $y = -x$ при $y \ge 0$ (это луч, выходящий из начала координат и лежащий во II четверти).
б) $-y = -x$, то есть $y = x$ при $y < 0$ (это луч, выходящий из начала координат и лежащий в III четверти).
График представляет собой "уголок" с вершиной в точке (0, 0), ветви которого являются биссектрисами II и III координатных углов.

2. Второе уравнение: $y = x^2 + 4x - 1$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
$y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.
Вершина находится в точке (-2, -5).

3. Построение и решение. Построим оба графика в одной системе координат.
Из графика видно, что парабола пересекает обе ветви графика $|y| = -x$. Одна точка пересечения находится в III четверти (пересечение параболы с лучом $y=x$). Вторая точка пересечения находится во II четверти (пересечение параболы с лучом $y=-x$). Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

3. Сколько решений имеет система уравнений $\begin{cases} ax + 5y = 20 - a, \\ 20x + ay = 20 \end{cases}$ в зависимости от значения параметра $a$?

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными. Количество ее решений зависит от взаимного расположения прямых, которые являются графиками этих уравнений.

Воспользуемся методом определителей (методом Крамера). Главный определитель системы:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 5 \\ 20 & a \end{vmatrix} = a \cdot a - 5 \cdot 20 = a^2 - 100$.

1. Система имеет единственное решение. Это происходит, когда главный определитель не равен нулю:
$\Delta \ne 0 \implies a^2 - 100 \ne 0 \implies (a-10)(a+10) \ne 0$.
Следовательно, система имеет одно решение при $a \ne 10$ и $a \ne -10$.

2. Система не имеет решений или имеет бесконечно много решений. Это происходит, когда главный определитель равен нулю:
$\Delta = 0 \implies a^2 - 100 = 0 \implies a = 10$ или $a = -10$. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Случай а) $a = 10$. Подставим $a=10$ в исходную систему:
$\begin{cases} 10x + 5y = 20 - 10, \\ 20x + 10y = 20 \end{cases} \implies \begin{cases} 10x + 5y = 10, \\ 20x + 10y = 20 \end{cases}$
Разделим первое уравнение на 5, а второе на 10:
$\begin{cases} 2x + y = 2, \\ 2x + y = 2 \end{cases}$
Уравнения стали идентичными. Это означает, что графики прямых совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Случай б) $a = -10$. Подставим $a=-10$ в исходную систему:
$\begin{cases} -10x + 5y = 20 - (-10), \\ 20x - 10y = 20 \end{cases} \implies \begin{cases} -10x + 5y = 30, \\ 20x - 10y = 20 \end{cases}$
Разделим первое уравнение на 5, а второе на 10:
$\begin{cases} -2x + y = 6, \\ 2x - y = 2 \end{cases}$
Умножим второе уравнение на -1:
$\begin{cases} -2x + y = 6, \\ -2x + y = -2 \end{cases}$
Получили противоречие ($6 \ne -2$). Это означает, что графики прямых параллельны и не совпадают, следовательно, система не имеет решений.

Ответ:

• Если $a = 10$, система имеет бесконечно много решений.
• Если $a = -10$, система не имеет решений.
• Если $a \ne 10$ и $a \ne -10$, система имеет одно решение.