Номер 16, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 16, страница 54.

Условие.

Самостоятельная работа № 16

Системы неравенств с двумя переменными

1. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x^2 + y^2 > 13, \\ xy \le 6. \end{cases}$

2. Изобразите график неравенства:

1) $|x + 3y| > 3$

2) $\sqrt{x - 2y + 3} < \sqrt{x + 3y}$

3. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $\min \{-3y, 2\} = x - 4$.

Решение.

1. Изобразите на координатной плоскости xy множество решений системы неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 > 13, \\ xy \le 6. \end{cases}$

Решение состоит из двух частей, соответствующих каждому неравенству системы.

1. Первое неравенство $x^2 + y^2 > 13$ задает множество точек на плоскости, находящихся вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{13}$. Граница, то есть сама окружность $x^2 + y^2 = 13$, не включается в решение, поэтому на графике она изображается пунктирной линией.

2. Второе неравенство $xy \le 6$. Границей этой области является гипербола $xy = 6$, или $y = \frac{6}{x}$. Ветви этой гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Так как неравенство нестрогое, точки на гиперболе являются частью решения, и она изображается сплошной линией. Чтобы определить, какая область является решением, возьмем пробную точку, например, $(0,0)$. Подставляя в неравенство, получаем $0 \cdot 0 \le 6$, что является верным утверждением. Следовательно, решением является область, содержащая начало координат, то есть область между ветвями гиперболы.

3. Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Это все точки, которые лежат между ветвями гиперболы $y = \frac{6}{x}$ (включая саму гиперболу) и одновременно находятся вне окружности $x^2 + y^2 = 13$.

Найдем точки пересечения границы областей, решив систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases}$ Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ и подставим в первое: $x^2 + (\frac{6}{x})^2 = 13$ $x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$ $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Возвращаясь к замене: $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$ Соответствующие значения $y$: Если $x=2$, то $y=3$. Если $x=-2$, то $y=-3$. Если $x=3$, то $y=2$. Если $x=-3$, то $y=-2$. Точки пересечения: $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(-2, -3)$, $(-3, -2)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, расположенная между ветвями гиперболы $y = 6/x$ (включая саму гиперболу), из которой удален открытый круг $x^2 + y^2 < 13$. Граница круга ($x^2 + y^2 = 13$) изображается пунктирной линией, а граница гиперболы ($xy=6$) — сплошной.

2. Изобразите график неравенства:

1) $|x + 3y| > 3$

Данное неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств: $\begin{cases} x + 3y > 3 \\ x + 3y < -3 \end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство отдельно. 1. $x + 3y > 3 \implies 3y > -x + 3 \implies y > -\frac{1}{3}x + 1$. Это неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой $y = -\frac{1}{3}x + 1$. 2. $x + 3y < -3 \implies 3y < -x - 3 \implies y < -\frac{1}{3}x - 1$. Это неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -\frac{1}{3}x - 1$.

Прямые $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x - 1$ параллельны. Так как неравенства строгие, обе прямые изображаются пунктирными линиями. Решением является объединение указанных полуплоскостей.

Ответ: Множество решений представляет собой всю координатную плоскость, за исключением замкнутой полосы между параллельными прямыми $y = -\frac{1}{3}x + 1$ и $y = -\frac{1}{3}x - 1$. Граничные прямые не входят в множество решений.

2) $\sqrt{x - 2y + 3} < \sqrt{x + 3y}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), для которых подкоренные выражения неотрицательны: $\begin{cases} x - 2y + 3 \ge 0 \\ x + 3y \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2y \le x + 3 \\ 3y \ge -x \end{cases} \implies \begin{cases} y \le \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y \ge -\frac{1}{3}x \end{cases}$

В этой области можно возвести обе части исходного неравенства в квадрат, так как они обе неотрицательны: $x - 2y + 3 < x + 3y$ $-2y + 3 < 3y$ $3 < 5y$ $y > \frac{3}{5}$

Таким образом, искомое множество точек является решением системы трех неравенств: $\begin{cases} y \le \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y \ge -\frac{1}{3}x \\ y > \frac{3}{5} \end{cases}$

Изобразим на плоскости граничные прямые: 1. $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ (сплошная линия) 2. $y = -\frac{1}{3}x$ (сплошная линия) 3. $y = \frac{3}{5}$ (пунктирная линия)

Найдем точку пересечения прямых из ОДЗ: $-\frac{1}{3}x = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \implies -2x = 3x + 9 \implies -5x = 9 \implies x = -\frac{9}{5}$. $y = -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{9}{5}) = \frac{3}{5}$. Точка пересечения: $(-\frac{9}{5}, \frac{3}{5})$. Эта же точка лежит на прямой $y = \frac{3}{5}$.

Решением является область, расположенная одновременно ниже (или на) первой прямой, выше (или на) второй и строго выше третьей. Это внутренняя область угла, образованного лучами $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ и $y = -\frac{1}{3}x$ с вершиной в точке $(-\frac{9}{5}, \frac{3}{5})$, причем сама вершина не включается в решение.

Ответ: Множество решений — это внутренняя область угла, образованного лучами $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ и $y = -\frac{1}{3}x$, исходящими из точки $(-\frac{9}{5}, \frac{3}{5})$. Сами лучи (границы угла) входят в решение, а вершина угла $(-\frac{9}{5}, \frac{3}{5})$ — не входит.

3. Изобразите на координатной плоскости xy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $\min\{-3y, 2\} = x - 4$.

Рассмотрим два случая в зависимости от того, какое из выражений в функции $\min$ является меньшим.

Случай 1: $-3y \le 2$. Это условие выполняется при $y \ge -\frac{2}{3}$. В этом случае $\min\{-3y, 2\} = -3y$. Уравнение принимает вид: $-3y = x - 4$. Отсюда $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$. Это уравнение прямой. Нам нужна та часть этой прямой, для которой выполняется условие $y \ge -\frac{2}{3}$. Найдем точку, где $y = -\frac{2}{3}$: $-\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \implies -2 = -x + 4 \implies x = 6$. Таким образом, в этом случае решением является луч, исходящий из точки $(6, -\frac{2}{3})$ и идущий по прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ в область, где $x \le 6$.

Случай 2: $-3y > 2$. Это условие выполняется при $y < -\frac{2}{3}$. В этом случае $\min\{-3y, 2\} = 2$. Уравнение принимает вид: $2 = x - 4$. Отсюда $x = 6$. Это уравнение вертикальной прямой. Нам нужна та часть этой прямой, для которой выполняется условие $y < -\frac{2}{3}$. Решением является луч, исходящий из точки $(6, -\frac{2}{3})$ и идущий вертикально вниз.

Объединяя решения обоих случаев, получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из общей точки $(6, -\frac{2}{3})$.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение двух лучей с общей начальной точкой $(6, -\frac{2}{3})$. Первый луч задается уравнением $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ при $x \le 6$. Второй луч задается уравнением $x = 6$ при $y \le -\frac{2}{3}$.