Номер 13, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 13, страница 53.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x - 2)(y - 4) = 0, \\ x^2 + y^2 - xy = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 7xy = -6, \\ 9y^2 - xy = 10; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^3y^3 - x^2y^4 = -54, \\ x^4y^2 - x^3y^3 = -18. \end{cases}$

Решение.

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y + 4x = 6 \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3 \end{cases} $$ Это система из линейного и квадратного уравнений. Для ее решения воспользуемся методом подстановки.
1. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 6 - 4x$
2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x^2 + 3x(6 - 4x) - (6 - 4x)^2 = 3$
3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 18x - 12x^2 - (36 - 48x + 16x^2) = 3$
$x^2 + 18x - 12x^2 - 36 + 48x - 16x^2 = 3$
$(1 - 12 - 16)x^2 + (18 + 48)x - 36 - 3 = 0$
$-27x^2 + 66x - 39 = 0$
4. Для удобства разделим все члены уравнения на -3:
$9x^2 - 22x + 13 = 0$
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 13 = 484 - 468 = 16$
6. Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{22 + 4}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{22 - 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$
7. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 6 - 4x$:
Для $x_1 = \frac{13}{9}$: $y_1 = 6 - 4 \cdot \frac{13}{9} = \frac{54}{9} - \frac{52}{9} = \frac{2}{9}$
Для $x_2 = 1$: $y_2 = 6 - 4 \cdot 1 = 2$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{13}{9}, \frac{2}{9}), (1, 2)$.

2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} (x - 2)(y - 4) = 0 \\ x^2 + y^2 - xy = 12 \end{cases} $$ 1. Первое уравнение обращается в ноль, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:
a) $x - 2 = 0 \implies x = 2$
б) $y - 4 = 0 \implies y = 4$
2. Рассмотрим каждый случай отдельно.
Случай 1: $x = 2$.
Подставим это значение во второе уравнение системы:
$2^2 + y^2 - 2y = 12$
$4 + y^2 - 2y = 12$
$y^2 - 2y - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -8. Следовательно, корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.
В этом случае мы получаем два решения: $(2, 4)$ и $(2, -2)$.
Случай 2: $y = 4$.
Подставим это значение во второе уравнение системы:
$x^2 + 4^2 - x \cdot 4 = 12$
$x^2 + 16 - 4x = 12$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$.
Отсюда $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.
В этом случае мы получаем одно решение: $(2, 4)$.
3. Объединяя решения из обоих случаев, получаем две различные пары чисел, которые являются решениями системы.
Ответ: $(2, 4), (2, -2)$.

3) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 7xy = -6 \\ 9y^2 - xy = 10 \end{cases} $$ 1. Для решения этой системы используем метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x^2 + 7xy) + (9y^2 - xy) = -6 + 10$
$x^2 + 6xy + 9y^2 = 4$
2. Заметим, что левая часть полученного уравнения является полным квадратом суммы:
$(x + 3y)^2 = 4$
3. Из этого уравнения следует, что выражение в скобках может быть равно 2 или -2. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $x + 3y = 2$.
Выразим $x = 2 - 3y$ и подставим во второе уравнение исходной системы $9y^2 - xy = 10$:
$9y^2 - (2 - 3y)y = 10$
$9y^2 - 2y + 3y^2 = 10$
$12y^2 - 2y - 10 = 0$
$6y^2 - y - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$y_1 = \frac{1 + 11}{12} = 1$; $y_2 = \frac{1 - 11}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 1$, $x_1 = 2 - 3(1) = -1$.
При $y_2 = -\frac{5}{6}$, $x_2 = 2 - 3(-\frac{5}{6}) = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$.
Получили решения: $(-1, 1)$ и $(\frac{9}{2}, -\frac{5}{6})$.
Случай 2: $x + 3y = -2$.
Выразим $x = -2 - 3y$ и подставим во второе уравнение $9y^2 - xy = 10$:
$9y^2 - (-2 - 3y)y = 10$
$9y^2 + 2y + 3y^2 = 10$
$12y^2 + 2y - 10 = 0$
$6y^2 + y - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$y_3 = \frac{-1 + 11}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$; $y_4 = \frac{-1 - 11}{12} = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_3 = \frac{5}{6}$, $x_3 = -2 - 3(\frac{5}{6}) = -2 - \frac{5}{2} = -\frac{9}{2}$.
При $y_4 = -1$, $x_4 = -2 - 3(-1) = 1$.
Получили решения: $(-\frac{9}{2}, \frac{5}{6})$ и $(1, -1)$.
Ответ: $(-1, 1), (1, -1), (\frac{9}{2}, -\frac{5}{6}), (-\frac{9}{2}, \frac{5}{6})$.

4) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^3y^3 - x^2y^4 = -54 \\ x^4y^2 - x^3y^3 = -18 \end{cases} $$ 1. Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:
$$ \begin{cases} x^2y^3(x - y) = -54 \\ x^3y^2(x - y) = -18 \end{cases} $$ 2. Так как правые части уравнений не равны нулю, то $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$. Это позволяет нам разделить второе уравнение на первое:
$\frac{x^3y^2(x - y)}{x^2y^3(x - y)} = \frac{-18}{-54}$
3. Сокращаем дробь в левой части:
$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$
Отсюда получаем простое соотношение между переменными: $y = 3x$.
4. Подставим это соотношение во второе исходное уравнение (можно и в первое):
$x^4(3x)^2 - x^3(3x)^3 = -18$
$x^4 \cdot 9x^2 - x^3 \cdot 27x^3 = -18$
$9x^6 - 27x^6 = -18$
$-18x^6 = -18$
5. Решим полученное уравнение:
$x^6 = 1$
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
6. Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 3x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1, 3), (-1, -3)$.