Номер 14, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 14, страница 54.

Условие.

Самостоятельная работа № 14

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3}, \\ 3x - 2y = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 - 8} = 6, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy - 20y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - 3y^2 = 32; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y - xy = 17, \\ xy(x - y) = -70. \end{cases}$

Решение.

1) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\3x - 2y = 7\end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
В первом уравнении введем замену: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.
Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$
Умножим обе части на $3t$ (так как $t \neq 0$):
$3t^2 + 3 = 10t$
$3t^2 - 10t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
Вернемся к исходным переменным.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3(3y) - 2y = 7$
$9y - 2y = 7$
$7y = 7$
$y = 1$
Тогда $x = 3 \cdot 1 = 3$.
Получили решение $(3; 1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, откуда $y = 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x - 2(3x) = 7$
$3x - 6x = 7$
$-3x = 7$
$x = -\frac{7}{3}$
Тогда $y = 3 \cdot (-\frac{7}{3}) = -7$.
Получили решение $(-\frac{7}{3}; -7)$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-\frac{7}{3}; -7)$.

2) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}\sqrt{x^2 + 8} + \sqrt{y^2 - 8} = 6 \\x^2 + y^2 = 20\end{cases}$
ОДЗ: $y^2 - 8 \ge 0 \implies y^2 \ge 8$.
Введем замену: пусть $a = \sqrt{x^2 + 8}$ и $b = \sqrt{y^2 - 8}$, где $a > 0$ и $b \ge 0$.
Тогда $x^2 = a^2 - 8$ и $y^2 = b^2 + 8$.
Подставим эти выражения в уравнения системы:
$\begin{cases}a + b = 6 \\(a^2 - 8) + (b^2 + 8) = 20\end{cases}$
Упростим второе уравнение: $a^2 + b^2 = 20$.
Получили систему:
$\begin{cases}a + b = 6 \\a^2 + b^2 = 20\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $b = 6 - a$ и подставим во второе:
$a^2 + (6 - a)^2 = 20$
$a^2 + 36 - 12a + a^2 = 20$
$2a^2 - 12a + 16 = 0$
$a^2 - 6a + 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $a_1 = 2$, $a_2 = 4$.

Случай 1: $a = 2$.
Тогда $b = 6 - 2 = 4$.
Вернемся к исходным переменным:
$x^2 = a^2 - 8 = 2^2 - 8 = 4 - 8 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $a = 4$.
Тогда $b = 6 - 4 = 2$.
Вернемся к исходным переменным:
$x^2 = a^2 - 8 = 4^2 - 8 = 16 - 8 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
$y^2 = b^2 + 8 = 2^2 + 8 = 4 + 8 = 12 \implies y = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.
Проверим ОДЗ: $y^2 = 12 \ge 8$. Условие выполняется.
Решениями являются все комбинации знаков для $x$ и $y$.

Ответ: $(2\sqrt{2}; 2\sqrt{3})$, $(2\sqrt{2}; -2\sqrt{3})$, $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{3})$, $(-2\sqrt{2}; -2\sqrt{3})$.

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 - xy - 20y^2 = 0 \\x^2 + 2xy - 3y^2 = 32\end{cases}$
Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители.
Решим уравнение $x^2 - xy - 20y^2 = 0$ как квадратное относительно $x$:
$D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20y^2) = y^2 + 80y^2 = 81y^2 = (9y)^2$.
$x_1 = \frac{y - 9y}{2} = -4y$
$x_2 = \frac{y + 9y}{2} = 5y$
Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = -4y$ или $x = 5y$.

Случай 1: $x = 5y$.
Подставим во второе уравнение системы:
$(5y)^2 + 2(5y)y - 3y^2 = 32$
$25y^2 + 10y^2 - 3y^2 = 32$
$32y^2 = 32$
$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Если $y = 1$, то $x = 5 \cdot 1 = 5$.
Если $y = -1$, то $x = 5 \cdot (-1) = -5$.
Получили решения $(5; 1)$ и $(-5; -1)$.

Случай 2: $x = -4y$.
Подставим во второе уравнение системы:
$(-4y)^2 + 2(-4y)y - 3y^2 = 32$
$16y^2 - 8y^2 - 3y^2 = 32$
$5y^2 = 32$
$y^2 = \frac{32}{5} \implies y = \pm \sqrt{\frac{32}{5}} = \pm \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm \frac{4\sqrt{10}}{5}$.
Если $y = \frac{4\sqrt{10}}{5}$, то $x = -4 \cdot \frac{4\sqrt{10}}{5} = -\frac{16\sqrt{10}}{5}$.
Если $y = -\frac{4\sqrt{10}}{5}$, то $x = -4 \cdot (-\frac{4\sqrt{10}}{5}) = \frac{16\sqrt{10}}{5}$.
Получили решения $(-\frac{16\sqrt{10}}{5}; \frac{4\sqrt{10}}{5})$ и $(\frac{16\sqrt{10}}{5}; -\frac{4\sqrt{10}}{5})$.

Ответ: $(5; 1)$, $(-5; -1)$, $(-\frac{16\sqrt{10}}{5}; \frac{4\sqrt{10}}{5})$, $(\frac{16\sqrt{10}}{5}; -\frac{4\sqrt{10}}{5})$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x - y - xy = 17 \\xy(x - y) = -70\end{cases}$
Введем замену: пусть $a = x - y$ и $b = xy$.
Система примет вид:
$\begin{cases}a - b = 17 \\b \cdot a = -70\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $a = 17 + b$ и подставим во второе:
$b(17 + b) = -70$
$b^2 + 17b + 70 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $b_1 = -10$, $b_2 = -7$.

Случай 1: $b = -10$.
Тогда $a = 17 + (-10) = 7$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$\begin{cases}x - y = 7 \\xy = -10\end{cases}$
Из первого уравнения $x = y + 7$. Подставим во второе:
$(y + 7)y = -10$
$y^2 + 7y + 10 = 0$
Корни: $y_1 = -5$, $y_2 = -2$.
Если $y_1 = -5$, то $x_1 = -5 + 7 = 2$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 7 = 5$.
Получили решения $(2; -5)$ и $(5; -2)$.

Случай 2: $b = -7$.
Тогда $a = 17 + (-7) = 10$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$\begin{cases}x - y = 10 \\xy = -7\end{cases}$
Из первого уравнения $x = y + 10$. Подставим во второе:
$(y + 10)y = -7$
$y^2 + 10y + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 - 28 = 72$.
$y = \frac{-10 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-10 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -5 \pm 3\sqrt{2}$.
Если $y_3 = -5 + 3\sqrt{2}$, то $x_3 = -5 + 3\sqrt{2} + 10 = 5 + 3\sqrt{2}$.
Если $y_4 = -5 - 3\sqrt{2}$, то $x_4 = -5 - 3\sqrt{2} + 10 = 5 - 3\sqrt{2}$.
Получили решения $(5 + 3\sqrt{2}; -5 + 3\sqrt{2})$ и $(5 - 3\sqrt{2}; -5 - 3\sqrt{2})$.

Ответ: $(2; -5)$, $(5; -2)$, $(5 + 3\sqrt{2}; -5 + 3\sqrt{2})$, $(5 - 3\sqrt{2}; -5 - 3\sqrt{2})$.