Номер 21, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 21, страница 56.

Условие.

Самостоятельная работа № 21

Абсолютная и относительная погрешности

1. Запишите в виде двойного неравенства:

1) $x = 11 \pm 0,1$;

2) $x = \frac{5}{7} \pm \frac{1}{8}$;

3) $x = 26,1 \pm 6$.

2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа

$\frac{1}{11}$ числом:

1) 0,09;

2) 0,091.

3. В справочнике указано, что плотность газообразного гелия при комнатной температуре равна $0,178 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$. С какой точностью указано приближённое значение плотности гелия?

4. В справочнике указано, что масса атома фосфора равна $5,14 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$. Оцените относительную погрешность этого приближения.

Решение.

1.

1) Запись $x = 11 \pm 0,1$ означает, что значение $x$ находится в интервале от $11 - 0,1$ до $11 + 0,1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $11 - 0,1 \le x \le 11 + 0,1$, что эквивалентно $10,9 \le x \le 11,1$.
Ответ: $10,9 \le x \le 11,1$.

2) Запись $x = \frac{5}{7} \pm \frac{1}{8}$ означает, что $\frac{5}{7} - \frac{1}{8} \le x \le \frac{5}{7} + \frac{1}{8}$. Для выполнения вычитания и сложения приведем дроби к общему знаменателю, который равен 56.
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{40}{56}$
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{7}{56}$
Тогда неравенство принимает вид: $\frac{40}{56} - \frac{7}{56} \le x \le \frac{40}{56} + \frac{7}{56}$, что эквивалентно $\frac{33}{56} \le x \le \frac{47}{56}$.
Ответ: $\frac{33}{56} \le x \le \frac{47}{56}$.

3) Запись $x = 26,1 \pm 6$ означает, что $26,1 - 6 \le x \le 26,1 + 6$. Вычисляем границы интервала: $20,1 \le x \le 32,1$.
Ответ: $20,1 \le x \le 32,1$.

2.

Абсолютная погрешность $\Delta$ — это модуль разности между точным значением $x$ и его приближенным значением $a$: $\Delta = |x - a|$. В данном случае точное значение $x = \frac{1}{11}$.

1) Приближенное значение $a = 0,09$.
$\Delta = |\frac{1}{11} - 0,09| = |\frac{1}{11} - \frac{9}{100}| = |\frac{100}{1100} - \frac{99}{1100}| = |\frac{1}{1100}| = \frac{1}{1100}$.
Ответ: $\frac{1}{1100}$.

2) Приближенное значение $a = 0,091$.
$\Delta = |\frac{1}{11} - 0,091| = |\frac{1}{11} - \frac{91}{1000}| = |\frac{1000}{11000} - \frac{91 \cdot 11}{11000}| = |\frac{1000 - 1001}{11000}| = |-\frac{1}{11000}| = \frac{1}{11000}$.
Ответ: $\frac{1}{11000}$.

3. Приближенное значение плотности гелия указано как $0,178 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$. Точность (абсолютная погрешность) измерения определяется по последней значащей цифре в записи числа. В числе $0,178$ последняя значащая цифра (8) находится в разряде тысячных. По правилам, абсолютная погрешность принимается равной половине единицы этого разряда.
Единица разряда тысячных — это $0,001$.
Следовательно, абсолютная погрешность $h$ равна:
$h = \frac{1}{2} \cdot 0,001 \cdot 10^{-3} = 0,0005 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$.
Это значение можно также записать в стандартном виде: $5 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3} = 5 \cdot 10^{-7} \text{ г/см}^3$.
Ответ: $0,0005 \cdot 10^{-3} \text{ г/см}^3$.

4. Относительная погрешность $\delta$ — это отношение абсолютной погрешности $h$ к модулю приближенного значения $|a|$.
Приближенное значение массы атома фосфора $a = 5,14 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$.
Сначала найдем абсолютную погрешность $h$. В числе $5,14$ последняя значащая цифра (4) стоит в разряде сотых. Абсолютная погрешность для мантиссы $5,14$ равна половине единицы этого разряда ($0,01$):
$h_1 = \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 0,005$.
Полная абсолютная погрешность с учетом порядка: $h = 0,005 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$.
Теперь вычислим относительную погрешность:
$\delta = \frac{h}{|a|} = \frac{0,005 \cdot 10^{-26}}{|5,14 \cdot 10^{-26}|} = \frac{0,005}{5,14}$.
$\delta \approx 0,00097276...$
Округлив результат до двух значащих цифр, получаем $\delta \approx 0,00097$. Относительную погрешность также можно выразить в процентах: $0,00097 \cdot 100\% = 0,097\% \approx 0,1\%$.
Ответ: Относительная погрешность составляет приблизительно $0,00097$ (или $\approx 0,1\%$).