Номер 22, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 22, страница 57.

Условие.

Самостоятельная работа № 22

Метод математической индукции

1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном $n$ выполняется равенство

$1 + 9 + 17 + \dots + 8n - 7 = n(4n - 3)$

2. Докажите неравенство

$7^n > 6n + 5$, где $n \in N$, $n \ge 2$.

3. Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения $(24^n + 25 \cdot 11^n)$ кратно 13.

Решение.

1. Докажем равенство $1 + 9 + 17 + ... + 8n - 7 = n(4n - 3)$ методом математической индукции для любого натурального $n$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть: $8 \cdot 1 - 7 = 1$.

Правая часть: $1 \cdot (4 \cdot 1 - 3) = 1 \cdot (4-3) = 1$.

Так как $1=1$, утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального $n=k$, где $k \ge 1$:

$1 + 9 + 17 + ... + 8k - 7 = k(4k - 3)$.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. То есть, докажем:

$1 + 9 + 17 + ... + (8k - 7) + (8(k+1) - 7) = (k+1)(4(k+1) - 3)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$. Используя индукционное предположение, заменим сумму первых $k$ членов:

$(1 + 9 + 17 + ... + 8k - 7) + (8(k+1) - 7) = k(4k - 3) + (8k + 8 - 7) = 4k^2 - 3k + 8k + 1 = 4k^2 + 5k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть равенства для $n=k+1$:

$(k+1)(4(k+1) - 3) = (k+1)(4k + 4 - 3) = (k+1)(4k+1) = 4k^2 + k + 4k + 1 = 4k^2 + 5k + 1$.

Левая и правая части совпали. Следовательно, утверждение верно для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

2. Докажем неравенство $7^n > 6n + 5$ для $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим истинность утверждения для наименьшего возможного значения $n=2$.

Левая часть: $7^2 = 49$.

Правая часть: $6 \cdot 2 + 5 = 12 + 5 = 17$.

Так как $49 > 17$, неравенство верно для $n=2$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $n=k$, где $k \ge 2$:

$7^k > 6k + 5$.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно для $n=k+1$. То есть, докажем, что $7^{k+1} > 6(k+1) + 5$.

Рассмотрим левую часть неравенства для $n=k+1$.

$7^{k+1} = 7 \cdot 7^k$.

Используя индукционное предположение ($7^k > 6k + 5$), получаем:

$7 \cdot 7^k > 7 \cdot (6k + 5) = 42k + 35$.

Теперь нам нужно показать, что полученное выражение больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть $42k + 35 > 6(k+1) + 5$.

$6(k+1) + 5 = 6k + 6 + 5 = 6k + 11$.

Сравним $42k + 35$ и $6k + 11$.

$42k + 35 - (6k + 11) = 36k + 24$.

Поскольку по условию $k \ge 2$, то $36k + 24$ является положительным числом. Следовательно, $42k + 35 > 6k + 11$.

Таким образом, мы получили цепочку неравенств:

$7^{k+1} > 42k + 35 > 6k + 11 = 6(k+1) + 5$.

Отсюда следует, что $7^{k+1} > 6(k+1) + 5$. Утверждение верно для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.

3. Докажем, что для любого натурального $n$ значение выражения $(24^n + 25 \cdot 11^n)$ кратно 13.

Обозначим $A(n) = 24^n + 25 \cdot 11^n$.

Шаг 1: База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

$A(1) = 24^1 + 25 \cdot 11^1 = 24 + 275 = 299$.

Разделим 299 на 13: $299 \div 13 = 23$.

Так как 299 делится на 13 без остатка, утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A(k) = 24^k + 25 \cdot 11^k$ кратно 13.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть докажем, что $A(k+1) = 24^{k+1} + 25 \cdot 11^{k+1}$ кратно 13.

Рассмотрим выражение $A(k+1)$:

$A(k+1) = 24^{k+1} + 25 \cdot 11^{k+1} = 24 \cdot 24^k + 25 \cdot 11 \cdot 11^k$.

Преобразуем выражение, чтобы использовать индукционное предположение. Рассмотрим разность $A(k+1) - 24 \cdot A(k)$:

$A(k+1) - 24A(k) = (24^{k+1} + 25 \cdot 11^{k+1}) - 24(24^k + 25 \cdot 11^k)$

$= 24^{k+1} + 25 \cdot 11^{k+1} - 24 \cdot 24^k - 24 \cdot 25 \cdot 11^k$

$= (24^{k+1} - 24^{k+1}) + (25 \cdot 11^{k+1} - 24 \cdot 25 \cdot 11^k)$

$= 25 \cdot 11^k \cdot 11 - 24 \cdot 25 \cdot 11^k = 25 \cdot 11^k (11 - 24) = 25 \cdot 11^k \cdot (-13) = -13 \cdot 25 \cdot 11^k$.

Полученное выражение $-13 \cdot 25 \cdot 11^k$ очевидно кратно 13.

Отсюда мы можем выразить $A(k+1)$:

$A(k+1) = 24A(k) - 13 \cdot 25 \cdot 11^k$.

По индукционному предположению, $A(k)$ кратно 13, значит и $24A(k)$ кратно 13. Второй член, $-13 \cdot 25 \cdot 11^k$, также очевидно кратен 13. Разность двух чисел, кратных 13, также кратна 13. Следовательно, $A(k+1)$ кратно 13.

По принципу математической индукции, выражение $(24^n + 25 \cdot 11^n)$ кратно 13 для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.