Номер 17, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 17, страница 55.

Условие.

Самостоятельная работа № 17

Основные методы доказательства неравенств

1. Докажите неравенство:

1) $25x^2 - 10xy + 2y^2 \ge 0;$

2) $c^2d^2 + c^2 + 4d^2 + 16 \ge 12cd;$

3) $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+2)} < \frac{1}{2}$, где $n \in N;$

4) $9c^2 + 4d^2 + 1 \ge 6cd - 3c - 2d.$

2. Известно, что $a \in [0; 4]$, $b \in [0; 4]$, $c \in [0; 4]$. Докажите неравенство $\frac{a}{8+b} + \frac{b}{8+c} + \frac{c}{8+a} \le 1.$

Решение.

1)Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:$25x^2 - 10xy + 2y^2 = (25x^2 - 10xy + y^2) + y^2 = (5x - y)^2 + y^2$.
Выражение $(5x - y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(5x - y)^2 \ge 0$. Аналогично, $y^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна: $(5x - y)^2 + y^2 \ge 0$.
Следовательно, исходное неравенство $25x^2 - 10xy + 2y^2 \ge 0$ верно для любых действительных $x$ и $y$.
Ответ: Неравенство доказано.

2)Перенесем все члены неравенства в левую часть:$c^2d^2 + c^2 + 4d^2 + 16 - 12cd \ge 0$.
Сгруппируем члены относительно переменной $c$, рассматривая выражение как квадратный трехчлен от $c$:$(d^2 + 1)c^2 - (12d)c + (4d^2 + 16) \ge 0$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $c^2$, равный $d^2+1$, всегда положителен ($d^2+1 > 0$). Такой квадратный трехчлен будет неотрицателен для любого $c$, если его дискриминант $D$ неположителен ($D \le 0$).
Найдем дискриминант:$D = (12d)^2 - 4(d^2 + 1)(4d^2 + 16) = 144d^2 - 16(d^2 + 1)(d^2 + 4)$$D = 144d^2 - 16(d^4 + 4d^2 + d^2 + 4) = 144d^2 - 16(d^4 + 5d^2 + 4)$$D = 144d^2 - 16d^4 - 80d^2 - 64 = -16d^4 + 64d^2 - 64$.
Вынесем общий множитель $-16$:$D = -16(d^4 - 4d^2 + 4) = -16(d^2 - 2)^2$.
Так как $(d^2 - 2)^2 \ge 0$ для любого действительного $d$, то $D = -16(d^2 - 2)^2 \le 0$.
Поскольку старший коэффициент положителен, а дискриминант неположителен, квадратный трехчлен относительно $c$ всегда неотрицателен. Таким образом, исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

3)Данная сумма представляет собой сумму членов вида $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$. Последний член $\frac{1}{n(n+2)}$ соответствует этой форме, где $n$ — нечетное натуральное число. Представим общий член суммы в виде разности двух дробей:$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$.
Сумма $S$ является телескопической. Пусть последний член соответствует $k=m$, то есть $n=2m-1$.$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2m-1)(2m+1)}$$S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2m-1} - \frac{1}{2m+1}\right)$$S = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2m-1} - \frac{1}{2m+1}\right) \right]$.
Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:$S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2m+1} \right)$.
Так как $n = 2m-1$, то $2m+1 = n+2$. Следовательно, сумма равна $S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)$.
Мы должны доказать, что $S < \frac{1}{2}$.$\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right) < \frac{1}{2}$.
Умножим обе части на 2:$1 - \frac{1}{n+2} < 1$.
Вычтем 1 из обеих частей:$-\frac{1}{n+2} < 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства:$\frac{1}{n+2} > 0$.
Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $n \ge 1$, и $n+2 > 0$. Следовательно, дробь $\frac{1}{n+2}$ всегда положительна. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4)Перенесем все члены в левую часть неравенства:$9c^2 + 4d^2 + 1 - 6cd + 3c + 2d \ge 0$.
Сгруппируем члены относительно переменной $c$:$9c^2 + (3 - 6d)c + (4d^2 + 2d + 1) \ge 0$.
Это квадратный трехчлен относительно $c$. Старший коэффициент $9 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Неравенство будет выполняться для всех $c$, если дискриминант $D$ этого трехчлена неположителен ($D \le 0$).
Вычислим дискриминант:$D = (3 - 6d)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (4d^2 + 2d + 1) = (9 - 36d + 36d^2) - 36(4d^2 + 2d + 1)$$D = 9 - 36d + 36d^2 - 144d^2 - 72d - 36$$D = -108d^2 - 108d - 27$.
Вынесем общий множитель $-27$:$D = -27(4d^2 + 4d + 1) = -27(2d + 1)^2$.
Так как $(2d+1)^2 \ge 0$ для любого действительного $d$, то $D = -27(2d+1)^2 \le 0$.
Поскольку старший коэффициент положителен, а дискриминант неположителен, квадратный трехчлен относительно $c$ всегда неотрицателен, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

2.Пусть $S(a,b,c) = \frac{a}{8+b} + \frac{b}{8+c} + \frac{c}{8+a}$. Нам нужно доказать, что $S(a,b,c) \le 1$ для всех $a, b, c \in [0; 4]$.
Область определения $K = [0; 4] \times [0; 4] \times [0; 4]$ является кубом в трехмерном пространстве. Функция $S(a,b,c)$ непрерывна на этом компактном множестве, а значит, достигает на нем своего максимального значения.
Рассмотрим функцию $S$ как функцию одной переменной, например $a$, при фиксированных $b$ и $c$:$f(a) = \frac{a}{8+b} + \frac{b}{8+c} + \frac{c}{8+a}$.
Найдем ее вторую производную по $a$:$f'(a) = \frac{1}{8+b} - \frac{c}{(8+a)^2}$.
$f''(a) = -c \cdot (-2) \cdot (8+a)^{-3} = \frac{2c}{(8+a)^3}$.
Так как $c \in [0; 4]$ и $a \in [0; 4]$, то $c \ge 0$ и $8+a > 0$. Следовательно, $f''(a) \ge 0$.
Это означает, что функция $f(a)$ является выпуклой на отрезке $[0; 4]$. Выпуклая функция на отрезке достигает своего максимального значения на одном из его концов. Таким образом, максимум $S$ по переменной $a$ достигается при $a=0$ или $a=4$.
Аналогичные рассуждения можно провести для переменных $b$ и $c$. Это означает, что максимальное значение функции $S(a,b,c)$ на кубе $K$ достигается в одной из его вершин.
Вершины куба — это точки, в которых каждая координата равна либо 0, либо 4. Проверим значение функции $S$ в этих точках:
- Если все переменные равны 0: $S(0,0,0) = 0$.
- Если одна переменная равна 4, а две другие 0 (например, $a=4, b=0, c=0$): $S = \frac{4}{8+0} + \frac{0}{8+0} + \frac{0}{8+4} = \frac{1}{2}$.
- Если две переменные равны 4, а одна 0 (например, $a=4, b=4, c=0$): $S = \frac{4}{8+4} + \frac{4}{8+0} + \frac{0}{8+4} = \frac{4}{12} + \frac{4}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
- Если все переменные равны 4: $S(4,4,4) = \frac{4}{8+4} + \frac{4}{8+4} + \frac{4}{8+4} = 3 \cdot \frac{4}{12} = 1$.
Максимальное значение, которое принимает функция $S(a,b,c)$ в вершинах куба, равно 1. Следовательно, для любых $a, b, c \in [0; 4]$ выполняется неравенство $\frac{a}{8+b} + \frac{b}{8+c} + \frac{c}{8+a} \le 1$.
Ответ: Неравенство доказано.