Номер 11, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 11, страница 52.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Уравнение с двумя переменными и его график

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 + 6x + 10y + 34 = 0;$

2) $x^2 - 16y^2 = 0;$

3) $|y+2| = \sqrt{x};$

4) $\frac{x^2 + y^2 - 9}{y^2 - 4} = 0.$

2. Решите уравнение

$(x^2 - 2x + 5)(y^2 + 6y + 11) = 8.$

Решение.

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 + 6x + 10y + 34 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 10y) + 34 = 0$

Дополним каждую группу до полного квадрата, прибавляя и вычитая необходимые числа:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 34 = 0$

$(x + 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 + 34 = 0$

Упростим выражение:

$(x + 3)^2 + (y + 5)^2 - 34 + 34 = 0$

$(x + 3)^2 + (y + 5)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений $(x + 3)^2$ и $(y + 5)^2$ равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$\begin{cases} (x+3)^2 = 0 \\ (y+5)^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+3 = 0 \\ y+5 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -3 \\ y = -5 \end{cases}$

Данное уравнение удовлетворяет только одна точка на координатной плоскости.

Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(-3, -5)$.

2) $x^2 - 16y^2 = 0$

Это уравнение можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - (4y)^2 = 0$

$(x - 4y)(x + 4y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$x - 4y = 0$ или $x + 4y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

$y = \frac{1}{4}x$ или $y = -\frac{1}{4}x$

Графиком данного уравнения является объединение двух прямых, проходящих через начало координат.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y = \frac{1}{4}x$ и $y = -\frac{1}{4}x$.

3) $|y + 2| = \sqrt{x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(|y + 2|)^2 = (\sqrt{x})^2$

$(y + 2)^2 = x$

Это уравнение параболы. В отличие от стандартного вида $y = ax^2+bx+c$, здесь переменные $x$ и $y$ поменялись ролями, поэтому ось симметрии параболы параллельна оси Ox.

Вершина параболы находится в точке, где выражение в квадрате равно нулю, то есть $y+2=0 \Rightarrow y=-2$. При этом $x=0$. Координаты вершины: $(0, -2)$.

Так как коэффициент перед скобкой положителен (равен 1), ветви параболы направлены вправо, в сторону увеличения $x$.

Условие ОДЗ $x \ge 0$ выполняется автоматически, так как $(y+2)^2 \ge 0$ для любых $y$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вправо.

4) $\frac{x^2 + y^2 - 9}{y^2 - 4} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 9 = 0 \\ y^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Рассмотрим второе условие: $y^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow y^2 \neq 4 \Rightarrow y \neq 2$ и $y \neq -2$.

Это означает, что из графика окружности нужно исключить (выколоть) точки, у которых ордината равна 2 или -2.

Найдем абсциссы этих точек, подставив значения $y$ в уравнение окружности:

При $y = 2$: $x^2 + 2^2 = 9 \Rightarrow x^2 + 4 = 9 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}$.

Исключаемые точки: $(\sqrt{5}, 2)$ и $(-\sqrt{5}, 2)$.

При $y = -2$: $x^2 + (-2)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + 4 = 9 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5}$.

Исключаемые точки: $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 3, из которой выколоты четыре точки: $(\sqrt{5}, 2)$, $(-\sqrt{5}, 2)$, $(\sqrt{5}, -2)$ и $(-\sqrt{5}, -2)$.

2. Решите уравнение $(x^2 - 2x + 5)(y^2 + 6y + 11) = 8$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части уравнения отдельно, выделив в них полные квадраты.

Для первого множителя:

$x^2 - 2x + 5 = (x^2 - 2x + 1) + 4 = (x - 1)^2 + 4$

Поскольку $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение этого выражения равно $0 + 4 = 4$. Таким образом, $x^2 - 2x + 5 \ge 4$.

Для второго множителя:

$y^2 + 6y + 11 = (y^2 + 6y + 9) + 2 = (y + 3)^2 + 2$

Поскольку $(y + 3)^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, то наименьшее значение этого выражения равно $0 + 2 = 2$. Таким образом, $y^2 + 6y + 11 \ge 2$.

Произведение левой части уравнения оценивается снизу:

$(x^2 - 2x + 5)(y^2 + 6y + 11) \ge 4 \cdot 2 = 8$

В исходном уравнении это произведение равно 8. Равенство возможно только в том случае, когда оба множителя одновременно принимают свои наименьшие значения.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 2x + 5 = 4 \\ y^2 + 6y + 11 = 2 \end{cases}$

Решим каждое уравнение:

1) $(x - 1)^2 + 4 = 4 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

2) $(y + 3)^2 + 2 = 2 \Rightarrow (y + 3)^2 = 0 \Rightarrow y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $(1, -3)$.