Номер 5, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 5, страница 50.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Построение графиков функций $y = f(x) + b$

и $y = f(x + a)$

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 - 9$;

2) $y = (x + 6)^2$;

3) $y = (x - 5)^2 - 7$?

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} - 3$;

2) $y = 4 + \sqrt{x - 2}$.

3. Постройте график функции $y = \frac{4x}{x + 3}$.

4. Сколько корней имеет уравнение $|x - 2| = a - x^2$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

1.

Координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, находятся в точке $(x_0; y_0)$.

1) Функция $y = x^2 - 9$.

Это уравнение можно представить в виде $y = (x - 0)^2 - 9$. Отсюда видно, что $x_0 = 0$ и $y_0 = -9$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0; -9)$.

Ответ: $(0; -9)$.

2) Функция $y = (x + 6)^2$.

Это уравнение можно представить в виде $y = (x - (-6))^2 + 0$. Отсюда видно, что $x_0 = -6$ и $y_0 = 0$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-6; 0)$.

Ответ: $(-6; 0)$.

3) Функция $y = (x - 5)^2 - 7$.

Уравнение уже представлено в стандартном виде. Отсюда $x_0 = 5$ и $y_0 = -7$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(5; -7)$.

Ответ: $(5; -7)$.

---

2.

Базовый график — это график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0; 0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.

1) $y = \sqrt{x} - 3$.

Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом (параллельным переносом) на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Начальная точка графика сместится из $(0; 0)$ в $(0; -3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вниз.

2) $y = 4 + \sqrt{x - 2}$.

Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ двумя последовательными сдвигами:

• Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси OX (из-за $x-2$ под корнем).
• Сдвиг на 4 единицы вверх вдоль оси OY (из-за прибавления 4).

Начальная точка графика сместится из $(0; 0)$ в $(2; 4)$. Область определения функции: $x \ge 2$.

Ответ: График функции $y = 4 + \sqrt{x - 2}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо и на 4 единицы вверх.

---

3.

Для построения графика функции $y = \frac{4x}{x + 3}$ преобразуем её выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{4x}{x + 3} = \frac{4(x + 3) - 12}{x + 3} = \frac{4(x + 3)}{x + 3} - \frac{12}{x + 3} = 4 - \frac{12}{x + 3}$.

График этой функции — гипербола. Его можно получить из графика функции $y = -\frac{12}{x}$ с помощью следующих преобразований:

• Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси OX. Это дает нам вертикальную асимптоту $x = -3$.
• Сдвиг на 4 единицы вверх вдоль оси OY. Это дает нам горизонтальную асимптоту $y = 4$.

Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот), так как коэффициент перед дробью отрицательный.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = \frac{4 \cdot 0}{0+3} = 0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.
• При $y=0$, $\frac{4x}{x+3}=0$, откуда $4x=0$, то есть $x=0$.

Таким образом, график пересекает оси только в точке $(0; 0)$.

Для более точного построения можно найти еще несколько точек:при $x=1$, $y=1$; при $x=-2$, $y=-8$; при $x=-4$, $y=16$.

Ответ: График функции является гиперболой с вертикальной асимптотой $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=4$. Ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно асимптот и проходят через начало координат.

---

4.

Решим задачу графическим методом. Перепишем уравнение $|x - 2| = a - x^2$ в виде $x^2 + |x - 2| = a$.

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x) = x^2 + |x - 2|$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Раскроем модуль в выражении для $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + (x - 2), & \text{если } x \ge 2 \\ x^2 - (x - 2), & \text{если } x < 2 \end{cases} \implies f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2, & \text{если } x \ge 2 \\ x^2 - x + 2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Проанализируем график функции $y = f(x)$:

• При $x < 2$ график совпадает с параболой $y = x^2 - x + 2$. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Так как $0.5 < 2$, эта точка является точкой минимума для всей функции $f(x)$. Ордината вершины: $y_v = (0.5)^2 - 0.5 + 2 = 0.25 - 0.5 + 2 = 1.75$. Таким образом, минимальное значение функции $f(x)$ равно $1.75$ и достигается в точке $x = 0.5$.
• При $x \ge 2$ график совпадает с параболой $y = x^2 + x - 2$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Этот участок ($x \ge 2$) находится правее вершины, поэтому на этом интервале функция возрастает.
• В точке "склейки" $x=2$: $f(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4$ (по второй формуле) и $f(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$ (по первой формуле). Функция непрерывна.

Итак, график функции $y = f(x)$ имеет наименьшее значение $y_{min} = 1.75$. При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$.

Теперь определим число пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y=a$ в зависимости от $a$:

• Если $a < 1.75$, прямая $y=a$ проходит ниже минимума графика $f(x)$, точек пересечения нет. Уравнение не имеет корней.
• Если $a = 1.75$, прямая $y=a$ касается графика в его вершине $(0.5; 1.75)$. Есть одна точка пересечения. Уравнение имеет один корень.
• Если $a > 1.75$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках (одну на убывающем участке $x < 0.5$, другую на возрастающем $x > 0.5$). Уравнение имеет два корня.

Ответ:

• при $a < 1.75$ — корней нет;
• при $a = 1.75$ — один корень;
• при $a > 1.75$ — два корня.