Номер 1, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 1, страница 48.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Функция

1. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{3x - 1} + \frac{1}{x^2 - x - 12}$

2. Найдите область значений функции:

1) $y = 1 - \frac{x^9}{x}$

2) $y = \frac{x - 6}{x^2}$

3. Даны функции $f(x) = 2x + 3$ и $g(x) = x^2 - 4$. Задайте формулой функцию:

1) $g(3x)$;

2) $f(g(x))$

4. Постройте график функции $y = \frac{15 - 3x}{x^2 - 5x}$

5. Известно, что $D(f) = [-5; 2]$. Найдите область определения функции $y = f(x - 3)$.

Решение.

1. Область определения функции $f(x) = \sqrt{3x - 1} + \frac{1}{x^2 - x - 12}$ находится из следующих условий:
1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x - 1 \ge 0$.
2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - x - 12 \ne 0$.

Решим первое неравенство:
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$

Решим второе условие, найдя корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют системе: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$.
Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.
Следовательно, знаменатель не равен нулю при $x \ne 4$ и $x \ne -3$.

Объединяем все условия: $x \ge \frac{1}{3}$, $x \ne 4$ и $x \ne -3$.
Условие $x \ne -3$ автоматически выполняется, так как $x \ge \frac{1}{3}$.
Таким образом, область определения функции - это все числа, большие или равные $\frac{1}{3}$, за исключением числа 4.
В виде интервала: $[\frac{1}{3}, 4) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [\frac{1}{3}, 4) \cup (4, +\infty)$.

2.
1) Найдем область значений функции $y = 1 - \frac{x^9}{x}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.
При $x \ne 0$ функцию можно упростить: $y = 1 - x^8$.
Поскольку показатель степени 8 - четное число, $x^8 \ge 0$ для любого $x$. Так как $x \ne 0$, то $x^8 > 0$.
Обозначим $z = x^8$, тогда $z > 0$.
Функция принимает вид $y = 1 - z$, где $z > 0$.
Если $z > 0$, то $-z < 0$.
Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $1 - z < 1$.
Следовательно, $y < 1$.
Таким образом, область значений функции - это все числа, меньшие 1.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 1)$.

2) Найдем область значений функции $y = \frac{x - 6}{x^2}$.
Область определения функции: $x \ne 0$.
Чтобы найти область значений, выразим $x$ через $y$.
$y \cdot x^2 = x - 6$
$y \cdot x^2 - x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$ (при $y \ne 0$). Для существования действительных решений $x$ дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot 6 = 1 - 24y$.
Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство:
$1 - 24y \ge 0$
$1 \ge 24y$
$y \le \frac{1}{24}$
Рассмотрим случай $y = 0$. Уравнение становится линейным: $0 - x + 6 = 0$, откуда $x=6$. Это значение входит в область определения. Значит, $y=0$ является значением функции.
Объединяя результаты, получаем, что область значений функции - это все числа, не превосходящие $\frac{1}{24}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty, \frac{1}{24}]$.

3. Даны функции $f(x) = 2x + 3$ и $g(x) = x^2 - 4$.
1) Найдем $g(3x)$.
Для этого в формулу для $g(x)$ вместо $x$ подставим $3x$:
$g(3x) = (3x)^2 - 4 = 9x^2 - 4$.

Ответ: $g(3x) = 9x^2 - 4$.

2) Найдем $f(g(x))$.
Для этого в формулу для $f(x)$ вместо $x$ подставим выражение для $g(x)$:
$f(g(x)) = f(x^2 - 4) = 2(x^2 - 4) + 3 = 2x^2 - 8 + 3 = 2x^2 - 5$.

Ответ: $f(g(x)) = 2x^2 - 5$.

4. Построим график функции $y = \frac{15 - 3x}{x^2 - 5x}$.
1. Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$x^2 - 5x \ne 0 \implies x(x - 5) \ne 0 \implies x \ne 0$ и $x \ne 5$.
$D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции:
$y = \frac{15 - 3x}{x^2 - 5x} = \frac{3(5 - x)}{x(x - 5)} = \frac{-3(x - 5)}{x(x - 5)}$.
Поскольку $x \ne 5$, мы можем сократить дробь на $(x - 5)$.
$y = -\frac{3}{x}$.

3. Графиком функции является гипербола $y = -\frac{3}{x}$ с выколотой точкой при $x=5$.
Найдем координаты этой точки. Подставим $x=5$ в упрощенную формулу:
$y = -\frac{3}{5} = -0.6$.
Координаты выколотой точки: $(5; -0.6)$.

4. Описание графика:
График функции - это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). На графике есть выколотая точка с координатами $(5; -0.6)$.

Ответ: Графиком является гипербола $y = -3/x$ с асимптотами $x=0$, $y=0$ и выколотой точкой $(5; -0.6)$.

5. Дана область определения функции $f$: $D(f) = [-5; 2]$. Это означает, что функция $f(\text{аргумент})$ определена, когда ее аргумент принадлежит отрезку $[-5; 2]$, то есть $-5 \le \text{аргумент} \le 2$.
Для функции $y = f(x - 3)$ аргументом является выражение $(x - 3)$.
Следовательно, для нахождения области определения функции $y = f(x - 3)$ необходимо решить двойное неравенство:
$-5 \le x - 3 \le 2$.
Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-5 + 3 \le x - 3 + 3 \le 2 + 3$
$-2 \le x \le 5$.
Таким образом, область определения функции $y = f(x - 3)$ - это отрезок $[-2; 5]$.

Ответ: $D(y) = [-2; 5]$.