Номер 30, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 30, страница 45.

Условие.

Самостоятельная работа № 30

Арифметическая прогрессия

1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 2; 1,8; 1,6; ... .

2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_3 + a_5 = -2$ и $a_7 + a_{10} = 4$.

3. При каком значении $y$ значения выражений $y^2 + 2$, $4y + 2$, $3y + 6$ и $y^2 - 4y + 18$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.

Решение.

1. Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 2$.
Найдем разность прогрессии $d$, вычитая из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = 1,8 - 2 = -0,2$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу, чтобы получить выражение для n-го члена данной прогрессии:
$a_n = 2 + (n-1)(-0,2) = 2 - 0,2n + 0,2 = 2,2 - 0,2n$.
Чтобы найти первый отрицательный член, необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, при котором $a_n$ будет меньше нуля.
Решим неравенство $a_n < 0$:
$2,2 - 0,2n < 0$
$2,2 < 0,2n$
$n > \frac{2,2}{0,2}$
$n > 11$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 11, это $n = 12$.
Следовательно, 12-й член прогрессии является первым отрицательным членом. Найдем его значение:
$a_{12} = 2,2 - 0,2 \cdot 12 = 2,2 - 2,4 = -0,2$.
Ответ: -0,2.

2. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Согласно условию, имеем систему из двух уравнений:
$a_3 + a_5 = -2$
$a_7 + a_{10} = 4$
Выразим каждый член прогрессии через $a_1$ (первый член) и $d$ (разность):
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в систему уравнений:
$(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = -2$
$(a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 4$
Упростим полученные уравнения:
1) $2a_1 + 6d = -2$, разделим на 2: $a_1 + 3d = -1$
2) $2a_1 + 15d = 4$
Теперь решим систему линейных уравнений:
$\begin{cases} a_1 + 3d = -1 \\ 2a_1 + 15d = 4 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = -1 - 3d$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(-1 - 3d) + 15d = 4$
$-2 - 6d + 15d = 4$
$9d = 6$
$d = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:
$a_1 = -1 - 3 \cdot (\frac{2}{3}) = -1 - 2 = -3$.
Ответ: первый член $a_1 = -3$, разность $d = \frac{2}{3}$.

3. Обозначим данные выражения как четыре последовательных члена арифметической прогрессии: $b_1 = y^2 + 2$, $b_2 = 4y + 2$, $b_3 = 3y + 6$, $b_4 = y^2 - 4y + 18$.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любыми двумя соседними членами постоянна. То есть, $b_2 - b_1 = b_3 - b_2 = b_4 - b_3$.
Это дает нам систему из двух уравнений:
1) $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$
$(4y + 2) - (y^2 + 2) = (3y + 6) - (4y + 2)$
$4y + 2 - y^2 - 2 = 3y + 6 - 4y - 2$
$-y^2 + 4y = -y + 4$
$y^2 - 5y + 4 = 0$
Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.
2) $b_3 - b_2 = b_4 - b_3$
$(3y + 6) - (4y + 2) = (y^2 - 4y + 18) - (3y + 6)$
$3y + 6 - 4y - 2 = y^2 - 4y + 18 - 3y - 6$
$-y + 4 = y^2 - 7y + 12$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
Решая это квадратное уравнение, находим корни: $y_1 = 2$, $y_2 = 4$.
Для того чтобы все четыре выражения были последовательными членами прогрессии, значение $y$ должно быть общим решением для обоих уравнений. Таким значением является $y = 4$.
Теперь найдем члены прогрессии, подставив $y = 4$ в каждое выражение:
$b_1 = 4^2 + 2 = 16 + 2 = 18$
$b_2 = 4(4) + 2 = 16 + 2 = 18$
$b_3 = 3(4) + 6 = 12 + 6 = 18$
$b_4 = 4^2 - 4(4) + 18 = 16 - 16 + 18 = 18$
Члены прогрессии: 18, 18, 18, 18. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $y = 4$; члены прогрессии: 18, 18, 18, 18.