Номер 32, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 3 - номер 32, страница 46.

Условие.

Самостоятельная работа № 32

Геометрическая прогрессия

1. Между числами 81 и 256 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.

2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_6 = 4b_4$ и $b_2 + b_5 = 108$.

3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Решение.

1.

Пусть данная геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из 5 членов, где $b_1 = 81$ и $b_5 = 256$. Нам нужно найти три числа между ними: $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Для пятого члена прогрессии имеем:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения:

$256 = 81 \cdot q^4$

Отсюда найдем $q^4$:

$q^4 = \frac{256}{81}$

Так как $256 = 4^4$ и $81 = 3^4$, получаем:

$q^4 = (\frac{4}{3})^4$

Возможные действительные значения знаменателя: $q = \frac{4}{3}$ или $q = -\frac{4}{3}$. Рассмотрим случай с положительным знаменателем (этот случай чаще всего подразумевается в школьных задачах, если не указано иное).

Пусть $q = \frac{4}{3}$. Найдем искомые члены прогрессии:

$b_2 = b_1 \cdot q = 81 \cdot \frac{4}{3} = 27 \cdot 4 = 108$

$b_3 = b_2 \cdot q = 108 \cdot \frac{4}{3} = 36 \cdot 4 = 144$

$b_4 = b_3 \cdot q = 144 \cdot \frac{4}{3} = 48 \cdot 4 = 192$

Проверим пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = 192 \cdot \frac{4}{3} = 64 \cdot 4 = 256$. Все верно.

Таким образом, полученная прогрессия: 81, 108, 144, 192, 256.

Ответ: 81, 108, 144, 192, 256.

2.

Нам даны два условия для геометрической прогрессии $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$:

1) $b_6 = 4b_4$

2) $b_2 + b_5 = 108$

Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ и перепишем первое условие:

$b_1 \cdot q^{6-1} = 4 \cdot (b_1 \cdot q^{4-1})$

$b_1 \cdot q^5 = 4 \cdot b_1 \cdot q^3$

Поскольку из второго условия следует, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 \cdot q^3$:

$q^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя: $q = 2$ или $q = -2$.

Теперь используем второе условие:

$b_1 \cdot q^{2-1} + b_1 \cdot q^{5-1} = 108$

$b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^4 = 108$

$b_1(q + q^4) = 108$

Рассмотрим оба случая для $q$.

Случай 1: $q = 2$

$b_1(2 + 2^4) = 108$

$b_1(2 + 16) = 108$

$18 \cdot b_1 = 108$

$b_1 = \frac{108}{18} = 6$

Случай 2: $q = -2$

$b_1(-2 + (-2)^4) = 108$

$b_1(-2 + 16) = 108$

$14 \cdot b_1 = 108$

$b_1 = \frac{108}{14} = \frac{54}{7}$

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $b_1 = 6$, $q = 2$ или $b_1 = \frac{54}{7}$, $q = -2$.

3.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Их можно представить как $a-d, a, a+d$, где $a$ - средний член, а $d$ - разность прогрессии.

По условию, их сумма равна 15:

$(a-d) + a + (a+d) = 15$

$3a = 15$

$a = 5$

Значит, исходные числа имеют вид: $5-d, 5, 5+d$.

К этим числам прибавили соответственно 1, 1 и 4. Получили новые числа:

$b_1 = (5-d) + 1 = 6-d$

$b_2 = 5 + 1 = 6$

$b_3 = (5+d) + 4 = 9+d$

Эти новые числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим наши выражения:

$6^2 = (6-d)(9+d)$

$36 = 54 + 6d - 9d - d^2$

$36 = 54 - 3d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$

$d^2 + 3d - 18 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -18. Корни: $d_1 = 3$ и $d_2 = -6$.

Найдем исходные числа для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 3$

Исходные числа: $5-3, 5, 5+3$, то есть 2, 5, 8.

Случай 2: $d = -6$

Исходные числа: $5-(-6), 5, 5+(-6)$, то есть 11, 5, -1.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 2, 5, 8 или 11, 5, -1.