Номер 3, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 3, страница 49.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Чётные и нечётные функции

1. Функция $f$ чётная. Может ли выполняться равенство $f(1) \cdot f(-1) = -1$?

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x^7 - 2x^6}{x - 2}$;

2) $y = x^5 + 3x^2$;

3) $y = \sqrt{3 + x} + \sqrt{3 - x}$.

3. Известно, что $\min_{[-6;-4]} f(x) = 2$, $\max_{[-6;-4]} f(x) = 7$. Найдите $\min_{[4;6]} f(x)$ и $\max_{[4;6]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - ax^2 + a^2 - 2a - 8 = 0$ имеет три корня?

Решение.

1. По определению, функция $f$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Подставим это свойство в данное равенство $f(1) \cdot f(-1) = -1$:
$f(1) \cdot f(1) = -1$
$(f(1))^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное равенство не может выполняться для действительной функции.
Ответ: Нет, не может.

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x^7 - 2x^6}{x - 2}$
Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x = -2$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $x = 2$ — не принадлежит).
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
Ответ: Функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).

2) $y = x^5 + 3x^2$
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = (-x)^5 + 3(-x)^2 = -x^5 + 3x^2$.
Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(x) = x^5 + 3x^2$
$-y(x) = -(x^5 + 3x^2) = -x^5 - 3x^2$
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
Ответ: Функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).

3) $y = \sqrt{3 + x} + \sqrt{3 - x}$
Найдём область определения функции. Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 3 + x \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \le 3 \end{cases}$
Область определения $D(y) = [-3; 3]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдём $y(-x)$:
$y(-x) = \sqrt{3 + (-x)} + \sqrt{3 - (-x)} = \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 + x}$.
Так как $y(-x) = \sqrt{3 - x} + \sqrt{3 + x} = \sqrt{3 + x} + \sqrt{3 - x} = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: Чётная.

3.

1) f — чётная функция
Если функция $f(x)$ чётная, то $f(-x) = f(x)$. Это означает, что значения функции в точках $x$ и $-x$ равны.
Промежуток $[4; 6]$ является симметричным промежутку $[-6; -4]$ относительно нуля. Для любого $x \in [4; 6]$ соответствующая точка $-x$ лежит в промежутке $[-6; -4]$.
Поскольку $f(x) = f(-x)$, множество значений функции на промежутке $[4; 6]$ совпадает с множеством её значений на промежутке $[-6; -4]$.
Следовательно, минимальное и максимальное значения функции на этих промежутках будут одинаковыми.
$\min_{[4;6]} f(x) = \min_{[-6;-4]} f(x) = 2$
$\max_{[4;6]} f(x) = \max_{[-6;-4]} f(x) = 7$
Ответ: $\min_{[4;6]} f(x) = 2$, $\max_{[4;6]} f(x) = 7$.

2) f — нечётная функция
Если функция $f(x)$ нечётная, то $f(-x) = -f(x)$.
Пусть $x \in [4; 6]$, тогда $-x \in [-6; -4]$. Значение функции в точке $x$ равно $f(x) = -f(-x)$.
Это означает, что множество значений функции на промежутке $[4; 6]$ является множеством, противоположным по знаку множеству значений на промежутке $[-6; -4]$.
Известно, что на промежутке $[-6; -4]$ значения функции лежат в отрезке $[2; 7]$.
Следовательно, на промежутке $[4; 6]$ значения функции будут лежать в отрезке $[-7; -2]$.
Тогда:
$\min_{[4;6]} f(x) = - \max_{[-6;-4]} f(x) = -7$
$\max_{[4;6]} f(x) = - \min_{[-6;-4]} f(x) = -2$
Ответ: $\min_{[4;6]} f(x) = -7$, $\max_{[4;6]} f(x) = -2$.

4. Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 - at + (a^2 - 2a - 8) = 0$.
Проанализируем связь между корнями исходного уравнения ($x$) и нового уравнения ($t$):
- Если $t > 0$, то уравнение $x^2 = t$ имеет два различных корня $x = \pm\sqrt{t}$.
- Если $t = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x = 0$.
- Если $t < 0$, то уравнение $x^2 = t$ не имеет действительных корней.
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно три корня, необходимо, чтобы квадратное уравнение относительно $t$ имело два различных неотрицательных корня, причём один из них должен быть равен нулю, а другой — строго больше нуля.
1. Один из корней равен $t_1 = 0$.
Подставим $t = 0$ в уравнение: $0^2 - a \cdot 0 + a^2 - 2a - 8 = 0$, откуда $a^2 - 2a - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $a$: $(a - 4)(a + 2) = 0$. Получаем два возможных значения: $a_1 = 4$ и $a_2 = -2$.
2. Второй корень $t_2$ должен быть положительным, $t_2 > 0$.
По теореме Виета для уравнения $t^2 - at + (a^2 - 2a - 8) = 0$ сумма корней $t_1 + t_2 = a$.
Поскольку $t_1 = 0$, получаем $0 + t_2 = a$, то есть $t_2 = a$.
Из условия $t_2 > 0$ следует, что $a > 0$.
Объединим полученные условия: $a$ должно быть равно 4 или -2, и при этом $a$ должно быть больше нуля. Этим условиям удовлетворяет только $a = 4$.
Проверим. При $a = 4$ уравнение для $t$ имеет вид $t^2 - 4t = 0$, его корни $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.
Из $x^2 = 0$ получаем $x = 0$.
Из $x^2 = 4$ получаем $x = 2$ и $x = -2$.
Всего три корня: -2, 0, 2. Условие выполнено.
Ответ: $a = 4$.