Номер 24, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 24, страница 58.

Условие.

Самостоятельная работа № 24

Размещения

1. В соревнованиях по толканию ядра участвует 7 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться первое, второе, третье, четвёртое и пятое места?

2. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A_{x+6}^2 = 210$;

2) $\frac{P_{x+7}}{A_{x+4}^8 \cdot P_{x-4}} = 990$.

3. Сколько различных семизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы цифры не повторялись, а вторая и пятая цифры были чётными?

Решение.

1. Эта задача о размещениях, так как порядок, в котором спортсмены занимают места, важен. Нам нужно найти, сколькими способами можно разместить 5 спортсменов на 5 призовых местах, выбирая их из 7 участников.
Формула для числа размещений из $n$ элементов по $k$ выглядит так: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В данном случае, общее число спортсменов $n = 7$, а число призовых мест $k = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$.
Таким образом, существует 2520 способов распределения первых пяти мест.
Ответ: 2520.

2.

1) $A_{x+6}^2 = 210$
Используем определение числа размещений: $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1)$.
В нашем случае $n = x+6$ и $k=2$.
$A_{x+6}^2 = (x+6)(x+6-1) = (x+6)(x+5)$.
Получаем уравнение:
$(x+6)(x+5) = 210$
$x^2 + 5x + 6x + 30 = 210$
$x^2 + 11x - 180 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 121 + 720 = 841 = 29^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-11 + 29}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$x_2 = \frac{-11 - 29}{2} = \frac{-40}{2} = -20$.
По условию, $x$ должен быть натуральным числом, поэтому корень $x=-20$ не подходит. Также необходимо выполнение условия $n \ge k$, то есть $x+6 \ge 2$, что означает $x \ge -4$. Корень $x=9$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: 9.

2) $\frac{P_{x+7}}{A_{x+4}^8 \cdot P_{x-4}} = 990$
Воспользуемся формулами для перестановок $P_n = n!$ и размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Преобразуем выражение в левой части уравнения:
$P_{x+7} = (x+7)!$
$A_{x+4}^8 = \frac{(x+4)!}{(x+4-8)!} = \frac{(x+4)!}{(x-4)!}$
$P_{x-4} = (x-4)!$
Подставим преобразованные части в уравнение:
$\frac{(x+7)!}{\frac{(x+4)!}{(x-4)!} \cdot (x-4)!} = 990$
Сократим $(x-4)!$ в знаменателе:
$\frac{(x+7)!}{(x+4)!} = 990$
Расшифруем $(x+7)!$ как $(x+7)(x+6)(x+5)(x+4)!$ и сократим дробь:
$\frac{(x+7)(x+6)(x+5)(x+4)!}{(x+4)!} = 990$
$(x+7)(x+6)(x+5) = 990$
Мы ищем три последовательных натуральных числа, произведение которых равно 990. Так как $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, эти числа близки к 10.
Проверим числа 9, 10 и 11: $9 \cdot 10 \cdot 11 = 990$.
Следовательно, $x+5=9$, откуда $x=4$.
Проверим область допустимых значений: для $A_{x+4}^8$ должно выполняться $x+4 \ge 8$, то есть $x \ge 4$. Для $P_{x-4}$ должно быть $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Решение $x=4$ удовлетворяет условиям.
Ответ: 4.

3. Требуется составить семизначное число из цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} без повторений.
В этом наборе есть 4 чётные цифры ({2, 4, 6, 8}) и 5 нечётных ({1, 3, 5, 7, 9}).
По условию, вторая и пятая цифры должны быть чётными.
Будем заполнять позиции числа последовательно:
1. На вторую позицию можно поставить любую из 4-х чётных цифр. Количество способов: 4.
2. На пятую позицию можно поставить одну из оставшихся $4-1=3$ чётных цифр. Количество способов: 3.
Число способов разместить две чётные цифры на двух фиксированных позициях равно $A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
3. Осталось заполнить $7-2=5$ позиций. Всего было 9 цифр, из них 2 уже использованы. Осталось $9-2=7$ цифр.
Число способов разместить оставшиеся 7 цифр на 5 свободных позициях равно $A_7^5$.
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$.
4. По правилу произведения, общее количество таких чисел равно произведению числа способов для каждого этапа:
$N = A_4^2 \cdot A_7^5 = 12 \cdot 2520 = 30240$.
Ответ: 30240.