Номер 19, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 4 - номер 19, страница 55.

Условие.

Самостоятельная работа № 19

Математическое моделирование

1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 21 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 3 ч. Найдите скорость каждого туриста, если один из них потратил на весь путь на 1 ч 45 мин меньше, чем другой.

2. Два маляра, работая одновременно, могут покрасить фасад здания за 3 ч 36 мин. Если же сначала первый маляр покрасит самостоятельно $\frac{2}{3}$ фасада, а затем второй оставшуюся часть фасада, то весь фасад будет покрашен за 7 ч. За сколько часов может покрасить фасад здания каждый маляр, работая самостоятельно?

3. В двух сплавах массы меди и никеля относятся как $2 : 7$ и $5 : 4$ соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 54 кг нового сплава, в котором массы меди и никеля относятся как $4 : 5$?

Решение.

1.

Пусть скорость первого туриста равна $v_1$ км/ч, а скорость второго — $v_2$ км/ч. Расстояние между пунктами A и B равно $S = 21$ км.

Туристы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. При движении навстречу их скорости складываются. За 3 часа они вместе прошли все расстояние $S$. Составим первое уравнение:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 21$

$v_1 + v_2 = \frac{21}{3}$

$v_1 + v_2 = 7$

Время, которое первый турист потратил бы на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{21}{v_1}$ ч. Время второго туриста — $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{21}{v_2}$ ч.

По условию, один из них потратил на весь путь на 1 ч 45 мин меньше, чем другой. Переведем разницу во времени в часы:

$1 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 1 + \frac{45}{60} \text{ ч } = 1 + \frac{3}{4} \text{ ч } = \frac{7}{4}$ ч.

Пусть первый турист был быстрее, то есть $v_1 > v_2$, тогда его время в пути $t_1$ меньше, чем $t_2$. Составим второе уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{7}{4}$

$\frac{21}{v_2} - \frac{21}{v_1} = \frac{7}{4}$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 7 \\ \frac{21}{v_2} - \frac{21}{v_1} = \frac{7}{4} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 7 - v_1$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{21}{7 - v_1} - \frac{21}{v_1} = \frac{7}{4}$

Разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{3}{7 - v_1} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3v_1 - 3(7 - v_1)}{v_1(7 - v_1)} = \frac{1}{4}$

$\frac{3v_1 - 21 + 3v_1}{7v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

$\frac{6v_1 - 21}{7v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$4(6v_1 - 21) = 7v_1 - v_1^2$

$24v_1 - 84 = 7v_1 - v_1^2$

$v_1^2 + 24v_1 - 7v_1 - 84 = 0$

$v_1^2 + 17v_1 - 84 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625 = 25^2$.

$v_1 = \frac{-17 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-17 \pm 25}{2}$

Первый корень: $v_{1a} = \frac{-17 + 25}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Второй корень: $v_{1b} = \frac{-17 - 25}{2} = \frac{-42}{2} = -21$. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

Итак, скорость первого туриста $v_1 = 4$ км/ч.

Найдем скорость второго туриста: $v_2 = 7 - v_1 = 7 - 4 = 3$ км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 4 км/ч, а другого — 3 км/ч.

2.

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первый маляр может покрасить фасад самостоятельно, а $t_2$ часов — время второго маляра. Тогда их производительности (часть фасада в час) равны $\frac{1}{t_1}$ и $\frac{1}{t_2}$ соответственно.

Работая вместе, они красят фасад за 3 ч 36 мин. Переведем это время в часы: $3 \text{ ч } 36 \text{ мин } = 3 + \frac{36}{60} = 3 + \frac{3}{5} = 3.6$ ч. Их совместная производительность равна $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. За 3.6 часа они выполняют всю работу (1 фасад). Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 3.6 = 1 \implies \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3.6} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

По второму условию, первый маляр красит $\frac{2}{3}$ фасада. Время, затраченное им, составляет $\frac{2}{3} t_1$ часов. Затем второй маляр красит оставшуюся $\frac{1}{3}$ фасада, затрачивая на это $\frac{1}{3} t_2$ часов. Общее время работы составило 7 часов. Составим второе уравнение:

$\frac{2}{3} t_1 + \frac{1}{3} t_2 = 7$

Умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: $2t_1 + t_2 = 21$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{5}{18} \\ 2t_1 + t_2 = 21 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$: $t_2 = 21 - 2t_1$. Подставим это в первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{21 - 2t_1} = \frac{5}{18}$

Приведем к общему знаменателю в левой части:

$\frac{21 - 2t_1 + t_1}{t_1(21 - 2t_1)} = \frac{5}{18}$

$\frac{21 - t_1}{21t_1 - 2t_1^2} = \frac{5}{18}$

$18(21 - t_1) = 5(21t_1 - 2t_1^2)$

$378 - 18t_1 = 105t_1 - 10t_1^2$

$10t_1^2 - 123t_1 + 378 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-123)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 378 = 15129 - 15120 = 9 = 3^2$.

$t_1 = \frac{123 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 10} = \frac{123 \pm 3}{20}$

Возможны два решения для $t_1$:

1) $t_{1a} = \frac{123 + 3}{20} = \frac{126}{20} = 6.3$ ч.

Тогда $t_{2a} = 21 - 2 \cdot 6.3 = 21 - 12.6 = 8.4$ ч.

2) $t_{1b} = \frac{123 - 3}{20} = \frac{120}{20} = 6$ ч.

Тогда $t_{2b} = 21 - 2 \cdot 6 = 21 - 12 = 9$ ч.

Оба решения являются верными. Таким образом, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: первый маляр может покрасить фасад за 6 часов, а второй за 9 часов; либо первый маляр за 6.3 часа (6 ч 18 мин), а второй за 8.4 часа (8 ч 24 мин).

3.

Пусть для получения нового сплава взяли $m_1$ кг первого сплава и $m_2$ кг второго сплава. Общая масса нового сплава составляет 54 кг. Составим первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 54$

Определим содержание меди и никеля в каждом сплаве.

В первом сплаве соотношение масс меди и никеля 2:7. Это значит, что в сплаве $2+7=9$ частей. Массовая доля меди составляет $\frac{2}{9}$, а никеля — $\frac{7}{9}$.

Во втором сплаве соотношение 5:4. Всего $5+4=9$ частей. Массовая доля меди — $\frac{5}{9}$, никеля — $\frac{4}{9}$.

В новом сплаве массой 54 кг соотношение меди и никеля должно быть 4:5. Всего $4+5=9$ частей. Найдем массу меди в новом сплаве: $M_{медь} = 54 \cdot \frac{4}{9} = 6 \cdot 4 = 24$ кг. Масса никеля в новом сплаве: $M_{никель} = 54 \cdot \frac{5}{9} = 6 \cdot 5 = 30$ кг.

Масса меди в новом сплаве складывается из массы меди, взятой из первого и второго сплавов. Составим второе уравнение, исходя из баланса массы меди:

$\frac{2}{9}m_1 + \frac{5}{9}m_2 = 24$

Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$2m_1 + 5m_2 = 216$

Получим систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 54 \\ 2m_1 + 5m_2 = 216 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m_1 = 54 - m_2$ и подставим во второе:

$2(54 - m_2) + 5m_2 = 216$

$108 - 2m_2 + 5m_2 = 216$

$3m_2 = 216 - 108$

$3m_2 = 108$

$m_2 = \frac{108}{3} = 36$ кг.

Теперь найдем массу первого сплава:

$m_1 = 54 - m_2 = 54 - 36 = 18$ кг.

Ответ: нужно взять 18 кг первого сплава и 36 кг второго сплава.