Номер 15, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 15, страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 15

Неравенства с двумя переменными

Постройте график неравенства:

1) $y \ge x^2 - 3x + 2;$

2) $xy < 3;$

3) $(x + 2y - 1)(x - y + 2) > 0;$

4) $\frac{y + 2x^2}{|y + 2|} > 0.$

Решение.

1) $y \ge x^2 - 3x + 2$

Решением данного неравенства является некоторая область на координатной плоскости. Чтобы построить график, сначала рассмотрим граничное уравнение $y = x^2 - 3x + 2$.

1. Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5, -0.25)$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осями координат:
- С осью OY ($x=0$): $y = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка пересечения $(0, 2)$.
- С осью OX ($y=0$): $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Начертим параболу. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), сама парабола является частью решения, и ее следует рисовать сплошной линией.

5. Теперь определим, какая область является решением: выше или ниже параболы. Неравенство $y \ge x^2 - 3x + 2$ означает, что для каждого $x$ искомые точки должны иметь координату $y$ большую или равную координате $y$ точки на параболе. Это область, расположенная над параболой.

Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на параболе, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее в исходное неравенство:
$0 \ge 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 \implies 0 \ge 2$.
Это ложное утверждение, значит, область, содержащая точку $(0,0)$ (то есть область под параболой), не является решением. Следовательно, решением является область над параболой.

Ответ: Графиком неравенства является множество точек, расположенных над параболой $y = x^2 - 3x + 2$, включая точки самой параболы.

---

2) $xy < 3$

1. Сначала построим границу области, заданную уравнением $xy = 3$. Это уравнение можно переписать в виде $y = \frac{3}{x}$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.

2. Поскольку знак неравенства строгий ($<$), точки на самой гиперболе не являются частью решения. Поэтому гиперболу следует рисовать пунктирной линией.

3. Гипербола делит координатную плоскость на три области: область "между" ветвями (содержащую начало координат) и две области "вне" ветвей. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем пробную точку. Удобно взять начало координат $(0,0)$.

4. Подставим координаты точки $(0,0)$ в исходное неравенство:
$0 \cdot 0 < 3 \implies 0 < 3$.
Это верное утверждение. Следовательно, область, содержащая точку $(0,0)$, является решением неравенства.

Ответ: Графиком неравенства является область, расположенная между ветвями гиперболы $y = \frac{3}{x}$. Граница области (сама гипербола) не включается в решение.

---

3) $(x + 2y - 1)(x - y + 2) > 0$

Произведение двух сомножителей положительно тогда и только тогда, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак. Это приводит к двум системам неравенств:

Система 1: $\begin{cases} x + 2y - 1 > 0 \\ x - y + 2 > 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x + 2y - 1 < 0 \\ x - y + 2 < 0 \end{cases}$

1. Границами областей являются прямые, заданные уравнениями $x + 2y - 1 = 0$ и $x - y + 2 = 0$. Преобразуем их к виду $y = kx + b$:
- $L_1: 2y = -x + 1 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$
- $L_2: -y = -x - 2 \implies y = x + 2$

2. Построим эти две прямые на координатной плоскости. Поскольку все неравенства строгие ($>$ или $<$), обе прямые рисуются пунктирными линиями. Эти прямые пересекаются и делят плоскость на четыре области (угла).

3. Решим системы неравенств графически:
- Для Системы 1: - $y > -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ (область выше прямой $L_1$) - $y < x + 2$ (область ниже прямой $L_2$) Решением является область, расположенная одновременно выше $L_1$ и ниже $L_2$. - Для Системы 2: - $y < -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ (область ниже прямой $L_1$) - $y > x + 2$ (область выше прямой $L_2$) Решением является область, расположенная одновременно ниже $L_1$ и выше $L_2$.

4. Объединение решений этих двух систем дает две вертикально противоположные области (угла), образованные пересечением прямых $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ и $y = x + 2$.

Ответ: Графиком неравенства является объединение двух открытых областей (вертикальных углов), образованных при пересечении прямых $x + 2y - 1 = 0$ и $x - y + 2 = 0$. Сами прямые в решение не входят.

---

4) $\frac{y + 2x^2}{|y + 2|} > 0$

1. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$|y + 2| \neq 0 \implies y + 2 \neq 0 \implies y \neq -2$.
Таким образом, прямая $y=-2$ должна быть исключена из решения.

2. Выражение в знаменателе $|y + 2|$ всегда положительно при $y \neq -2$. Следовательно, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} y + 2x^2 > 0 \\ y \neq -2 \end{cases}$

3. Решим первое неравенство: $y + 2x^2 > 0 \implies y > -2x^2$.

4. Построим график. Границей области является парабола $y = -2x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$, ветви которой направлены вниз.

5. Поскольку знак неравенства строгий ($>$), точки на самой параболе не входят в решение, и ее следует рисовать пунктирной линией.

6. Неравенство $y > -2x^2$ означает, что решением является область, расположенная выше параболы $y = -2x^2$.

7. Учтем условие из ОДЗ: $y \neq -2$. Это означает, что из найденной области нужно исключить все точки, лежащие на горизонтальной прямой $y = -2$. Эту прямую также следует изобразить пунктирной (выколотой) линией.

Ответ: Графиком неравенства является множество всех точек, расположенных выше параболы $y = -2x^2$, за исключением точек, лежащих на прямой $y=-2$. Сама парабола в решение не входит.