Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 11, страница 9.

Условие.

Самостоятельная работа № 11

Уравнение с двумя переменными и его график

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0;$

2) $4x^2 - y^2 = 0;$

3) $|y - 2| = \sqrt{x};$

4) $\frac{x^2 + y^2 - 16}{x^2 - 9} = 0.$

2. Решите уравнение $(x^2 - 8x + 17)(y^2 + 2y + 4) = 3.$

Решение.

1. Постройте график уравнения:

1) $x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = 0$

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) + 10 = 0$.
Дополним до полного квадрата: $(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 10 = 0$.
Свернем квадраты: $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 10 = 0$.
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0$.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.
Следовательно, мы имеем систему уравнений:
$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем $x = -1$ и $y = 3$.
Графиком данного уравнения является единственная точка с координатами $(-1, 3)$.

Ответ: Графиком уравнения является точка $(-1, 3)$.

2) $4x^2 - y^2 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(2x)^2 - y^2 = 0$
$(2x - y)(2x + y) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на два:
$2x - y = 0$ или $2x + y = 0$.
Отсюда $y = 2x$ или $y = -2x$.
Графиком данного уравнения является объединение двух прямых, проходящих через начало координат: $y = 2x$ и $y = -2x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y = 2x$ и $y = -2x$.

3) $|y - 2| = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для данного уравнения: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(|y - 2|)^2 = (\sqrt{x})^2$
$(y - 2)^2 = x$
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 2)$ и осью симметрии $y = 2$. Ветви параболы направлены вправо (в сторону увеличения $x$).

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вправо.

4) $\frac{x^2 + y^2 - 16}{x^2 - 9} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:
$\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 = 0 \\ x^2 - 9 \ne 0 \end{cases}$
Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.
Второе условие, $x^2 - 9 \ne 0$, означает, что $x^2 \ne 9$, то есть $x \ne 3$ и $x \ne -3$.
Таким образом, мы должны исключить из окружности точки, у которых абсцисса равна $3$ или $-3$.
Найдем ординаты этих точек, подставив значения $x$ в уравнение окружности.
При $x = 3$: $3^2 + y^2 = 16 \implies 9 + y^2 = 16 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm\sqrt{7}$.
Исключаются точки $(3, \sqrt{7})$ и $(3, -\sqrt{7})$.
При $x = -3$: $(-3)^2 + y^2 = 16 \implies 9 + y^2 = 16 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm\sqrt{7}$.
Исключаются точки $(-3, \sqrt{7})$ и $(-3, -\sqrt{7})$.
Графиком уравнения является окружность $x^2 + y^2 = 16$ с четырьмя выколотыми точками.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 4, из которой исключены точки $(3, \sqrt{7})$, $(3, -\sqrt{7})$, $(-3, \sqrt{7})$ и $(-3, -\sqrt{7})$.

2. Решите уравнение $(x^2 - 8x + 17)(y^2 + 2y + 4) = 3$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части уравнения отдельно, выделив полные квадраты.
Первый множитель: $x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) + 1 = (x - 4)^2 + 1$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x - 4)^2 \ge 0$. Следовательно, $(x - 4)^2 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение этого множителя равно 1 и достигается при $x = 4$.
Второй множитель: $y^2 + 2y + 4 = (y^2 + 2y + 1) + 3 = (y + 1)^2 + 3$.
Аналогично, $(y + 1)^2 \ge 0$, поэтому $(y + 1)^2 + 3 \ge 3$. Наименьшее значение этого множителя равно 3 и достигается при $y = -1$.
Произведение двух множителей в левой части уравнения будет не меньше, чем произведение их наименьших значений:
$(x^2 - 8x + 17)(y^2 + 2y + 4) \ge 1 \cdot 3 = 3$.
Согласно условию, это произведение равно 3. Равенство возможно только в том случае, когда оба множителя принимают свои наименьшие значения одновременно.
Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 8x + 17 = 1 \\ y^2 + 2y + 4 = 3 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$(x - 4)^2 + 1 = 1 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$.
Решим второе уравнение:
$(y + 1)^2 + 3 = 3 \implies (y + 1)^2 = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $(4, -1)$.