Номер 4, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 4, страница 5.

Условие.

Самостоятельная работа № 4

Построение графиков функций $y = kf(x)$ и $y = f(kx)$

1. Известно, что точка $D (2; -7)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

2. На рисунке 2 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = -f(x)$;

2) $y = f(-x)$.

Рис. 2

3. Число 3 является нулём возрастающей функции $f$. Решите уравнение $f\left(-\frac{1}{2}x\right) = 0$.

4. Постройте график функции:

1) $y = -3x^2$;

2) $y = \sqrt{5x}$.

Решение.

1. По условию, точка $D(2; -7)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = 2$ и $y = -7$ в уравнение:
$-7 = a \cdot (2)^2$
$-7 = a \cdot 4$
Теперь найдём $a$:
$a = \frac{-7}{4}$
$a = -1.75$
Ответ: $a = -1.75$.

2.

1) y = -f(x)
График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путём симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, -y_0)$.
Основные точки исходного графика: $(-4, 0), (-3, -2), (-1, 0), (1, 4), (3, 0), (5, -4), (7, 0)$.
Применим преобразование $(x, y) \rightarrow (x, -y)$ к этим точкам:
$(-4, 0) \rightarrow (-4, 0)$
$(-3, -2) \rightarrow (-3, -(-2)) = (-3, 2)$
$(-1, 0) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 4) \rightarrow (1, -4)$
$(3, 0) \rightarrow (3, 0)$
$(5, -4) \rightarrow (5, -(-4)) = (5, 4)$
$(7, 0) \rightarrow (7, 0)$
Соединив эти новые точки отрезками, мы получим искомый график.
Ответ: График функции $y = -f(x)$ является зеркальным отражением исходного графика относительно оси Ox. Его ключевые точки: $(-4, 0), (-3, 2), (-1, 0), (1, -4), (3, 0), (5, 4), (7, 0)$.

2) y = f(-x)
График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путём симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(-x_0, y_0)$.
Основные точки исходного графика: $(-4, 0), (-3, -2), (-1, 0), (1, 4), (3, 0), (5, -4), (7, 0)$.
Применим преобразование $(x, y) \rightarrow (-x, y)$ к этим точкам:
$(-4, 0) \rightarrow (4, 0)$
$(-3, -2) \rightarrow (3, -2)$
$(-1, 0) \rightarrow (1, 0)$
$(1, 4) \rightarrow (-1, 4)$
$(3, 0) \rightarrow (-3, 0)$
$(5, -4) \rightarrow (-5, -4)$
$(7, 0) \rightarrow (-7, 0)$
Соединив эти новые точки отрезками, мы получим искомый график.
Ответ: График функции $y = f(-x)$ является зеркальным отражением исходного графика относительно оси Oy. Его ключевые точки: $(4, 0), (3, -2), (1, 0), (-1, 4), (-3, 0), (-5, -4), (-7, 0)$.

3. По условию, число 3 является нулём функции $f$, это означает, что $f(3) = 0$. Также в условии сказано, что функция $f$ является возрастающей. Возрастающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, следовательно, $x=3$ является единственным нулём функции $f$.
Нам нужно решить уравнение $f(-\frac{1}{2}x) = 0$.
Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы аргумент функции был равен её единственному нулю, то есть 3:
$-\frac{1}{2}x = 3$
Решим полученное уравнение для $x$:
$x = 3 \cdot (-2)$
$x = -6$
Ответ: $x = -6$.

4.

1) y = -3x²
График этой функции — парабола. Её можно построить, преобразовав график базовой функции $y = x^2$.
1. Растянем график $y = x^2$ от оси Ox в 3 раза, чтобы получить график $y = 3x^2$.
2. Отразим график $y = 3x^2$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить искомый график $y = -3x^2$.
Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
Для точности построения найдём несколько точек:
При $x = 0, y = -3 \cdot 0^2 = 0$
При $x = 1, y = -3 \cdot 1^2 = -3$
При $x = -1, y = -3 \cdot (-1)^2 = -3$
При $x = 2, y = -3 \cdot 2^2 = -12$
Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветвями, направленными вниз, проходящая через точки $(1, -3)$ и $(-1, -3)$.

2) y = √5x
Будем считать, что имеется в виду $y = \sqrt{5x}$. Область определения функции: $5x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.
График функции $y = \sqrt{5x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путём сжатия к оси Oy в 5 раз.
График начинается в точке $(0, 0)$ и является ветвью параболы.
Для точности построения найдём несколько точек:
При $x = 0, y = \sqrt{5 \cdot 0} = 0$
При $x = 1/5, y = \sqrt{5 \cdot (1/5)} = \sqrt{1} = 1$
При $x = 5, y = \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} = 5$
Ответ: График функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(0, 0)$ и проходящая через точки $(1/5, 1)$ и $(5, 5)$.