Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 1, страница 4.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Функция

1. Найдите область определения функции

$f(x) = \sqrt{2x - 1} + \frac{1}{x^2 - 2x - 8}$

2. Найдите область значений функции:

1) $y = 3 + \frac{x^5}{x}$

2) $y = \frac{x + 2}{x^2}$

3. Даны функции $f(x) = 2x - 1$ и $g(x) = x^2 - 2$. Задайте формулой функцию:

1) $g(3x)$

2) $f(g(x)))$

4. Постройте график функции

$y = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}$

5. Известно, что $D(f) = [-3; 2]$. Найдите область определения функции $y = f(x + 2)$

Решение.

1.

Область определения функции $f(x) = \sqrt{2x - 1} + \frac{1}{x^2 - 2x - 8}$ находится из двух условий:

1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x - 1 \ge 0$
$2x \ge 1$
$x \ge 0.5$

2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 2x - 8 \neq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

Объединим оба условия. Нам нужны значения $x$, которые удовлетворяют одновременно $x \ge 0.5$, $x \neq 4$ и $x \neq -2$.
Условие $x \ge 0.5$ автоматически исключает $x = -2$. Остается учесть, что $x \neq 4$.
Таким образом, область определения функции — это все числа из промежутка $[0.5, +\infty)$, кроме числа 4.

Ответ: $D(f) = [0.5; 4) \cup (4; +\infty)$.

2.

1) $y = 3 + \frac{x^5}{x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
При $x \neq 0$ функцию можно упростить:
$y = 3 + x^4$
Выражение $x^4$ принимает только неотрицательные значения, то есть $x^4 \ge 0$.
Поскольку $x \neq 0$, то $x^4$ будет строго больше нуля: $x^4 > 0$.
Тогда для значений функции $y$ получаем:
$y = 3 + x^4 > 3 + 0$
$y > 3$
Область значений функции — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $E(y) = (3; +\infty)$.

2) $y = \frac{x+2}{x^2}$

Область определения функции: $x \neq 0$.
Чтобы найти область значений, выясним, какие значения может принимать $y$. Пусть $y=k$, где $k$ — некоторое число.
$k = \frac{x+2}{x^2}$
$kx^2 = x+2$
$kx^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно должно иметь хотя бы одно действительное решение.
Если $k=0$, уравнение принимает вид $-x - 2 = 0$, откуда $x = -2$. Решение есть, значит $y=0$ входит в область значений.
Если $k \neq 0$, для наличия действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным: $D \ge 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot k \cdot (-2) = 1 + 8k$
$1 + 8k \ge 0$
$8k \ge -1$
$k \ge -\frac{1}{8}$
Объединяя случай $k=0$ с этим результатом, получаем, что $y$ может принимать любое значение из промежутка $[-\frac{1}{8}, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{8}; +\infty)$.

3.

1) $g(3x)$

Чтобы найти $g(3x)$, нужно в выражение для функции $g(x) = x^2 - 2$ подставить $3x$ вместо $x$:
$g(3x) = (3x)^2 - 2 = 9x^2 - 2$.

Ответ: $g(3x) = 9x^2 - 2$.

2) $f(g(x))$

Чтобы найти $f(g(x))$, нужно в выражение для функции $f(x) = 2x - 1$ подставить вместо $x$ выражение для $g(x)$, то есть $x^2 - 2$:
$f(g(x)) = f(x^2 - 2) = 2(x^2 - 2) - 1 = 2x^2 - 4 - 1 = 2x^2 - 5$.

Ответ: $f(g(x)) = 2x^2 - 5$.

4.

Проанализируем функцию $y = \frac{8 - 4x}{x^2 - 2x}$.
1. Область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 2x \neq 0$
$x(x-2) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

2. Упрощение функции. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$y = \frac{-4(x - 2)}{x(x - 2)}$
При $x \neq 2$ можно сократить дробь на $(x-2)$:
$y = -\frac{4}{x}$

3. Построение графика.
График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{4}{x}$ во всех точках, кроме точки $x=2$.
График функции $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат $x=0$ и $y=0$.
Так как исходная функция не определена в точке $x=2$, на графике в этом месте будет "выколотая" точка (точка разрыва). Найдем ее координаты:
$x = 2$
$y = -\frac{4}{2} = -2$
Координаты "выколотой" точки — $(2; -2)$.

План построения:
- Построить систему координат.
- Построить гиперболу $y = -\frac{4}{x}$. Для этого можно взять несколько точек, например, $(1; -4)$, $(4; -1)$, $(-1; 4)$, $(-4; 1)$.
- На полученной гиперболе отметить "выколотую" точку с координатами $(2; -2)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(2; -2)$.

5.

Известно, что область определения функции $f$ есть отрезок $D(f) = [-3; 2]$. Это означает, что аргумент функции $f$ может принимать значения только из этого отрезка.
Для функции $y = f(x+2)$ аргументом является выражение $(x+2)$.
Следовательно, для нахождения области определения функции $y = f(x+2)$ необходимо, чтобы ее аргумент принадлежал области определения функции $f$:
$-3 \le x+2 \le 2$
Чтобы найти $x$, вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:
$-3 - 2 \le x + 2 - 2 \le 2 - 2$
$-5 \le x \le 0$
Таким образом, область определения функции $y = f(x+2)$ — это отрезок $[-5; 0]$.

Ответ: $D(y) = [-5; 0]$.