Номер 3, страница 5 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 3, страница 5.

Условие.

Самостоятельная работа № 3

Чётные и нечётные функции

1. Функция $f$ нечётная. Может ли выполняться равенство $f(3) \cdot f(-3) = 4$?

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x^5 + x^4}{x+1}$;

2) $y = x^7 - 3x^2$;

3) $y = \sqrt{5+x} - \sqrt{5-x}$.

3. Известно, что $\min_{[-4;-2]} f(x) = -1$, $\max_{[-4;-2]} f(x) = 3$. Найдите $\min_{[2;4]} f(x)$ и $\max_{[2;4]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

4. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 - ax^2 + a^2 - 2a - 3 = 0$ имеет единственный корень?

Решение.

По определению нечётной функции, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Подставим это свойство в данное равенство: $f(3) \cdot f(-3) = f(3) \cdot (-f(3)) = -[f(3)]^2$. Таким образом, мы получаем уравнение $-[f(3)]^2 = 4$, или $[f(3)]^2 = -4$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное равенство выполняться не может.

Ответ: нет, не может.

1) $y = \frac{x^5 + x^4}{x + 1}$

Найдём область определения функции $D(y)$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля (например, $1 \in D(y)$, а $-1 \notin D(y)$). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

2) $y = x^7 - 3x^2$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^7 - 3(-x)^2 = -x^7 - 3x^2$. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$: $y(-x) = -x^7 - 3x^2 \neq y(x) = x^7 - 3x^2$. $-y(x) = -(x^7 - 3x^2) = -x^7 + 3x^2$. $y(-x) = -x^7 - 3x^2 \neq -y(x) = -x^7 + 3x^2$. Так как ни условие чётности $y(-x)=y(x)$, ни условие нечётности $y(-x)=-y(x)$ не выполняются, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) $y = \sqrt{5+x} - \sqrt{5-x}$

Найдём область определения функции. Подрадикальные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} 5+x \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} \implies x \in [-5; 5]$. Область определения $D(y) = [-5; 5]$ симметрична относительно нуля. Найдём $y(-x)$: $y(-x) = \sqrt{5+(-x)} - \sqrt{5-(-x)} = \sqrt{5-x} - \sqrt{5+x}$. Сравним $y(-x)$ с $-y(x)$: $-y(x) = -(\sqrt{5+x} - \sqrt{5-x}) = \sqrt{5-x} - \sqrt{5+x}$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

1) $f$ – чётная функция

Для чётной функции выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. Это означает, что для любого $x_0 \in [2; 4]$, значение $f(x_0)$ равно значению функции в точке $-x_0 \in [-4; -2]$. Следовательно, множество значений, которые функция принимает на отрезке $[2; 4]$, совпадает с множеством значений, которые она принимает на отрезке $[-4; -2]$. Поэтому $\min_{[2; 4]} f(x) = \min_{[-4; -2]} f(x) = -1$ и $\max_{[2; 4]} f(x) = \max_{[-4; -2]} f(x) = 3$.

Ответ: $\min_{[2; 4]} f(x) = -1$, $\max_{[2; 4]} f(x) = 3$.

2) $f$ – нечётная функция

Для нечётной функции выполняется равенство $f(x) = -f(-x)$. Пусть $x \in [2; 4]$, тогда $-x \in [-4; -2]$. Найдём минимальное значение на $[2; 4]$. $\min_{[2; 4]} f(x) = \min_{x \in [2; 4]} (-f(-x))$. Минимум выражения $-f(-x)$ достигается тогда, когда $f(-x)$ принимает своё максимальное значение. Максимальное значение $f$ на отрезке $[-4; -2]$ равно 3. Следовательно, $\min_{[2; 4]} f(x) = - \max_{[-4; -2]} f(x) = -3$. Аналогично, найдём максимальное значение на $[2; 4]$. $\max_{[2; 4]} f(x) = \max_{x \in [2; 4]} (-f(-x))$. Максимум выражения $-f(-x)$ достигается тогда, когда $f(-x)$ принимает своё минимальное значение. Минимальное значение $f$ на отрезке $[-4; -2]$ равно -1. Следовательно, $\max_{[2; 4]} f(x) = - \min_{[-4; -2]} f(x) = -(-1) = 1$.

Ответ: $\min_{[2; 4]} f(x) = -3$, $\max_{[2; 4]} f(x) = 1$.

Пусть $f(x) = x^4 - ax^2 + a^2 - 2a - 3$. Найдём $f(-x) = (-x)^4 - a(-x)^2 + a^2 - 2a - 3 = x^4 - ax^2 + a^2 - 2a - 3 = f(x)$. Функция $f(x)$ является чётной. Если $x_0$ – корень уравнения $f(x)=0$, то и $-x_0$ также является корнем. Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этот корень был равен своему противоположному значению, то есть $x_0 = -x_0$, откуда $x_0 = 0$.

Следовательно, единственным корнем может быть только $x=0$. Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это возможно: $0^4 - a \cdot 0^2 + a^2 - 2a - 3 = 0$ $a^2 - 2a - 3 = 0$ По теореме Виета, $a_1 + a_2 = 2$ и $a_1 \cdot a_2 = -3$. Корнями являются $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$.

Теперь необходимо проверить, не появляются ли при этих значениях $a$ другие корни. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^2 - at + a^2 - 2a - 3 = 0$.

1. Проверим $a=3$. Уравнение для $t$ становится: $t^2 - 3t + 3^2 - 2 \cdot 3 - 3 = t^2 - 3t + 9 - 6 - 3 = t^2 - 3t = 0$. $t(t-3) = 0$. Корни для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$. Возвращаемся к замене: $x^2 = 0 \implies x = 0$. $x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. При $a=3$ уравнение имеет три корня, что не удовлетворяет условию.

2. Проверим $a=-1$. Уравнение для $t$ становится: $t^2 - (-1)t + (-1)^2 - 2(-1) - 3 = t^2 + t + 1 + 2 - 3 = t^2 + t = 0$. $t(t+1) = 0$. Корни для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$. Возвращаемся к замене: $x^2 = 0 \implies x = 0$. $x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней. При $a=-1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: $a = -1$.