Номер 7, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 7, страница 7.

Условие.

Самостоятельная работа № 7

Квадратичная функция, её график и свойства

1. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 8x + 7$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства: а) $f(x) < 0$; б) $f(x) \ge 0$;

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) $[-5; 6]$; б) $[4; 10]$.

2. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $a > 0$, $D > 0$, $c > 0$, $- \frac{b}{2a} < 0$.

3. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 + 2a + 6 = 0$ принимает наименьшее значение?

Решение.

1. Постройте график функции $f(x) = x^2 + 8x + 7$. Используя график, найдите:

Для построения графика квадратичной функции $f(x) = x^2 + 8x + 7$, которая является параболой, найдем ее ключевые точки.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.
Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -8 / (2 \cdot 1) = -4$.
Ордината вершины: $y_v = f(x_v) = (-4)^2 + 8(-4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.
Вершина параболы находится в точке $(-4, -9)$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 + 8(0) + 7 = 7$. Точка пересечения $(0, 7)$.
С осью Ox (при $f(x)=0$): $x^2 + 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$. Точки пересечения $(-1, 0)$ и $(-7, 0)$.

4. Ось симметрии. Прямая $x = x_v$, то есть $x = -4$.

5. Дополнительные точки. Найдем точку, симметричную точке $(0, 7)$ относительно оси симметрии $x=-4$. Ее абсцисса будет $-8$. Значение функции $f(-8) = (-8)^2 + 8(-8) + 7 = 64 - 64 + 7 = 7$. Точка $(-8, 7)$.

Используя эти точки (вершина $(-4, -9)$, пересечения с осями $(-1, 0)$, $(-7, 0)$, $(0, 7)$ и симметричную точку $(-8, 7)$), строим график параболы.

Теперь, используя график, ответим на вопросы.

1) область значений функции;

Парабола имеет минимум в своей вершине $y_v = -9$ и ветви ее направлены вверх. Следовательно, функция принимает все значения, большие или равные $-9$.
Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после нее.
Промежуток убывания: $(-\infty, -4]$.
Промежуток возрастания: $[-4, +\infty)$.
Ответ: функция убывает на $(-\infty, -4]$, возрастает на $[-4, +\infty)$.

3) множество решений неравенства: а) $f(x) < 0$; б) $f(x) \ge 0$;

а) $f(x) < 0$: ищем промежутки, где график функции находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями $x = -7$ и $x = -1$.
б) $f(x) \ge 0$: ищем промежутки, где график функции находится на оси Ox или выше нее. Это происходит левее корня $x = -7$ и правее корня $x = -1$, включая сами корни.
Ответ: а) $x \in (-7, -1)$; б) $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, +\infty)$.

4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) $[-5; 6]$; б) $[4; 10]$;

а) На промежутке $[-5; 6]$:
Вершина параболы $x_v = -4$ принадлежит этому промежутку, значит, наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{наим} = f(-4) = -9$.
Для нахождения наибольшего значения сравним значения функции на концах промежутка: $f(-5) = (-5)^2 + 8(-5) + 7 = 25 - 40 + 7 = -8$.
$f(6) = 6^2 + 8(6) + 7 = 36 + 48 + 7 = 91$.
Наибольшее значение $y_{наиб} = 91$.
Ответ: наименьшее значение $-9$, наибольшее значение $91$.

б) На промежутке $[4; 10]$:
Вершина параболы $x_v = -4$ не принадлежит этому промежутку. На данном промежутке функция монотонно возрастает (так как он лежит правее вершины).
Следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой.
$y_{наим} = f(4) = 4^2 + 8(4) + 7 = 16 + 32 + 7 = 55$.
$y_{наиб} = f(10) = 10^2 + 8(10) + 7 = 100 + 80 + 7 = 187$.
Ответ: наименьшее значение $55$, наибольшее значение $187$.

---

2. Пусть D — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если $a > 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-b/(2a) < 0$.

Проанализируем заданные условия:

• $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
• $D > 0$: квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Это означает, что график функции пересекает ось Ox в двух точках.
• $c > 0$: при $x=0$, $y=c$. Так как $c>0$, график пересекает ось Oy в точке с положительной ординатой (выше начала координат).
• $-b/(2a) < 0$: это абсцисса вершины параболы, $x_v = -b/(2a)$. Условие означает, что вершина параболы расположена слева от оси Oy.

Объединим все условия для построения схематического графика:

1. Ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина находится в левой полуплоскости ($x_v < 0$).
3. Поскольку ветви направлены вверх, ордината вершины $y_v$ является минимальным значением функции. Так как график пересекает ось Ox ($D > 0$), то вершина должна быть ниже оси Ox, то есть $y_v < 0$. Таким образом, вершина находится в III координатной четверти.
4. График пересекает ось Oy в точке $(0, c)$, где $c > 0$.
5. График пересекает ось Ox в двух точках. Так как вершина находится левее оси Oy ($x_v < 0$) и $y(0)=c>0$, то обе точки пересечения с осью Ox должны быть отрицательными.

Схематический график будет выглядеть как парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в третьей четверти, пересекающая ось Ox в двух точках на отрицательной полуоси и пересекающая ось Oy на положительной полуоси.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями вверх, вершина которой расположена в III координатной четверти, пересекающая ось Ox в двух отрицательных точках и ось Oy в положительной точке.

---

3. При каких значениях параметра $a$ произведение корней уравнения $x^2 - 2ax + a^2 + 2a + 6 = 0$ принимает наименьшее значение?

Данное уравнение является квадратным относительно $x$. Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант: $D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 2a + 6) = 4a^2 - 4(a^2 + 2a + 6) = 4a^2 - 4a^2 - 8a - 24 = -8a - 24$.

Условие существования корней $D \ge 0$:
$-8a - 24 \ge 0$
$-8a \ge 24$
$a \le -3$.
Следовательно, параметр $a$ должен принадлежать промежутку $(-\infty, -3]$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ равно $C/A$. В нашем случае произведение корней, обозначим его как $P(a)$, равно: $P(a) = x_1 x_2 = (a^2 + 2a + 6) / 1 = a^2 + 2a + 6$.

Нам нужно найти наименьшее значение функции $P(a) = a^2 + 2a + 6$ при условии $a \le -3$.

Функция $P(a)$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины $a_v$: $a_v = -(\text{коэффициент при } a) / (2 \cdot \text{коэффициент при } a^2) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

Вершина параболы $P(a)$ находится в точке $a = -1$. Однако, допустимые значения параметра $a$ ограничены условием $a \le -3$.

На промежутке $(-\infty, -1]$ функция $P(a)$ убывает. Поскольку интересующий нас промежуток $(-\infty, -3]$ является частью промежутка убывания, то на нем функция $P(a)$ также монотонно убывает. Наименьшее значение убывающей функции на промежутке $(-\infty, -3]$ достигается в его крайней правой точке, то есть при $a = -3$.

Ответ: $a = -3$.