Номер 14, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 14, страница 10.

Условие.

Самостоятельная работа № 14 Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{2}, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{y^2 - 2} = 3, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 15; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y - xy = -2, \\ xy(x + y) = 48. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{2} \\ 2x - 3y = 3 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}$

Введем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$

$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = 2$.

$\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(2y) - 3y = 3$

$4y - 3y = 3$

$y = 3$

Тогда $x = 2y = 2 \cdot 3 = 6$.

Получили решение $(6, 3)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.

$\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x - 3(2x) = 3$

$2x - 6x = 3$

$-4x = 3$

$x = -\frac{3}{4}$

Тогда $y = 2x = 2 \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{3}{2}$.

Получили решение $(-\frac{3}{4}, -\frac{3}{2})$.

Ответ: $(6, 3)$, $(-\frac{3}{4}, -\frac{3}{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + 2} + \sqrt{y^2 - 2} = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $y^2 - 2 \ge 0 \implies y^2 \ge 2$.

Введем замену переменных: пусть $a = \sqrt{x^2 + 2}$ и $b = \sqrt{y^2 - 2}$. По определению корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Из замены следует, что $a^2 = x^2 + 2 \implies x^2 = a^2 - 2$ и $b^2 = y^2 - 2 \implies y^2 = b^2 + 2$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

$$ \begin{cases} a + b = 3 \\ (a^2 - 2) + (b^2 + 2) = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 + b^2 = 5 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b = 3 - a$ и подставим во второе:

$a^2 + (3 - a)^2 = 5$

$a^2 + 9 - 6a + a^2 = 5$

$2a^2 - 6a + 4 = 0$

$a^2 - 3a + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$.

Случай 1: $a = 1$.

Тогда $b = 3 - a = 3 - 1 = 2$.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt{x^2 + 2} = 1 \implies x^2 + 2 = 1 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных решений.

Случай 2: $a = 2$.

Тогда $b = 3 - a = 3 - 2 = 1$.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt{x^2 + 2} = 2 \implies x^2 + 2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

$\sqrt{y^2 - 2} = 1 \implies y^2 - 2 = 1 \implies y^2 = 3 \implies y = \pm\sqrt{3}$.

Проверим ОДЗ: $y^2 = 3 \ge 2$. Условие выполнено.

Комбинируя значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, $(\sqrt{2}, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{2}, \sqrt{3})$, $(-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0 \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 15 \end{cases} $$

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители, рассматривая как квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - (5y)x + 6y^2 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = 2y$ и $x_2 = 3y$.

Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = 2y$ или $x = 3y$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(2y)^2 + 2(2y)y - y^2 = 15$

$3(4y^2) + 4y^2 - y^2 = 15$

$12y^2 + 4y^2 - y^2 = 15$

$15y^2 = 15 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Если $y=1$, то $x = 2y = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y=-1$, то $x = 2y = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Случай 2: $x = 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$3(3y)^2 + 2(3y)y - y^2 = 15$

$3(9y^2) + 6y^2 - y^2 = 15$

$27y^2 + 6y^2 - y^2 = 15$

$32y^2 = 15 \implies y^2 = \frac{15}{32} \implies y = \pm\sqrt{\frac{15}{32}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{8}$.

Если $y = \frac{\sqrt{30}}{8}$, то $x = 3y = \frac{3\sqrt{30}}{8}$. Получаем решение $(\frac{3\sqrt{30}}{8}, \frac{\sqrt{30}}{8})$.

Если $y = -\frac{\sqrt{30}}{8}$, то $x = 3y = -\frac{3\sqrt{30}}{8}$. Получаем решение $(-\frac{3\sqrt{30}}{8}, -\frac{\sqrt{30}}{8})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{3\sqrt{30}}{8}, \frac{\sqrt{30}}{8})$, $(-\frac{3\sqrt{30}}{8}, -\frac{\sqrt{30}}{8})$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y - xy = -2 \\ xy(x + y) = 48 \end{cases} $$

Эта система является симметрической. Введем замену переменных: пусть $a = x + y$ и $b = xy$.

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} a - b = -2 \\ ab = 48 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a = b - 2$ и подставим во второе:

$(b - 2)b = 48$

$b^2 - 2b - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = 8$ и $b_2 = -6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $b = 8$.

Тогда $a = b - 2 = 8 - 2 = 6$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$x + y = 6$ и $xy = 8$.

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

$(t - 2)(t - 4) = 0$, откуда $t_1 = 2$, $t_2 = 4$.

Следовательно, решениями являются пары $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Случай 2: $b = -6$.

Тогда $a = b - 2 = -6 - 2 = -8$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$x + y = -8$ и $xy = -6$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-8)t + (-6) = 0$, то есть $t^2 + 8t - 6 = 0$.

Найдем корни по формуле:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 64 + 24 = 88$.

$t = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{2} = -4 \pm \sqrt{22}$.

Следовательно, решениями являются пары $(-4 + \sqrt{22}, -4 - \sqrt{22})$ и $(-4 - \sqrt{22}, -4 + \sqrt{22})$.

Ответ: $(2, 4)$, $(4, 2)$, $(-4 + \sqrt{22}, -4 - \sqrt{22})$, $(-4 - \sqrt{22}, -4 + \sqrt{22})$.