Номер 9, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 9, страница 8.

Условие.

Самостоятельная работа № 9

Решение неравенств методом интервалов

1. Решите неравенство:

1) $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0;$

2) $(x + 1)(5x - 9)^2 (3 - x)^5 > 0;$

3) $\frac{5x}{x^2 - 4x + 3} + \frac{2}{x - 1} \ge \frac{3}{x - 3};$

4) $(x^2 - 36)\sqrt{x^2 - 16} \ge 0.$

2. Найдите множество решений неравенства $|x - a|(3x^2 - x - 4) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

1)

Решим неравенство $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 7)(x - 6)(x - 14)$, решив уравнение $f(x)=0$:

$x + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = -7$

$x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$

$x - 14 = 0 \Rightarrow x_3 = 14$

2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 6)$, $(6; 14)$ и $(14; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив пробное значение из каждого интервала:
Интервал $(14; +\infty)$: возьмем $x=15$, $(15+7)(15-6)(15-14) > 0$. Знак "+".
Интервал $(6; 14)$: возьмем $x=10$, $(10+7)(10-6)(10-14) < 0$. Знак "−".
Интервал $(-7; 6)$: возьмем $x=0$, $(0+7)(0-6)(0-14) > 0$. Знак "+".
Интервал $(-\infty; -7)$: возьмем $x=-8$, $(-8+7)(-8-6)(-8-14) < 0$. Знак "−".

4. Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля ($< 0$). Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(6; 14)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; 14)$.

2)

Решим неравенство $(x + 1)(5x - 9)^2(3 - x)^5 > 0$.

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным.
$(3 - x)^5 = (-(x - 3))^5 = (-1)^5(x - 3)^5 = -(x - 3)^5$.
Неравенство принимает вид: $-(x + 1)(5x - 9)^2(x - 3)^5 > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$(x + 1)(5x - 9)^2(x - 3)^5 < 0$.

2. Найдем нули левой части:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$ (корень кратности 1, нечетной).
$5x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = 9/5 = 1.8$ (корень кратности 2, четной).
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$ (корень кратности 5, нечетной).

3. Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси. При переходе через корень четной кратности ($x=9/5$) знак выражения не меняется, а при переходе через корни нечетной кратности ($x=-1$ и $x=3$) — меняется.
Определим знак на крайнем правом интервале ($x>3$): $(+)(+)^2(+)^5 = +$.
Расставим знаки на остальных интервалах: $(-\infty; -1): "+", (-1; 9/5): "−", (9/5; 3): "−", (3; +\infty): "+".$

4. Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля ($< 0$). Это $(-1; 9/5)$ и $(9/5; 3)$. Точка $x=9/5$ не является решением, так как в ней выражение равно нулю, а неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-1; 9/5) \cup (9/5; 3)$.

3)

Решим неравенство $\frac{5x}{x^2 - 4x + 3} + \frac{2}{x - 1} \ge \frac{3}{x - 3}$.

1. Перенесем все слагаемые в левую часть. Разложим знаменатель $x^2 - 4x + 3$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1=1, x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
$\frac{5x}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x - 3} \ge 0$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-3)$:
$\frac{5x + 2(x - 3) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} \ge 0$.

3. Упростим числитель:
$\frac{5x + 2x - 6 - 3x + 3}{(x - 1)(x - 3)} \ge 0$
$\frac{4x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \ge 0$.

4. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $4x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3/4$ (точка закрашенная, так как неравенство нестрогое).
Нули знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$; $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (точки выколотые, так как знаменатель не может быть равен нулю).

5. Отметим точки $3/4, 1, 3$ на числовой оси и определим знаки выражения на получившихся интервалах.
Интервал $(3; +\infty)$: знак "+".
Интервал $(1; 3)$: знак "−".
Интервал $(3/4; 1)$: знак "+".
Интервал $(-\infty; 3/4)$: знак "−".

6. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$).

Ответ: $x \in [3/4, 1) \cup (3, +\infty)$.

4)

Решим неравенство $(x^2 - 36)\sqrt{x^2 - 16} \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 16 \ge 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 4) \ge 0$.
Решением является $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

2. На ОДЗ множитель $\sqrt{x^2 - 16}$ всегда неотрицателен. Произведение неотрицательно, если:
а) Один из множителей равен нулю.
$\sqrt{x^2 - 16} = 0 \Rightarrow x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$. Эти значения входят в ОДЗ и являются решениями.
$x^2 - 36 = 0 \Rightarrow x = \pm 6$. Эти значения также входят в ОДЗ и являются решениями.
б) Оба множителя строго положительны.
$\sqrt{x^2 - 16} > 0 \Rightarrow x^2 - 16 > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.
При этом условии должно выполняться $x^2 - 36 > 0 \Rightarrow (x-6)(x+6) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.
Пересечение этих двух условий дает $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

3. Объединим все найденные решения из пунктов (а) и (б):
Точки $\{-6, -4, 4, 6\}$ и интервалы $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.
Объединение дает множество $(-\infty; -6] \cup \{-4\} \cup \{4\} \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{-4\} \cup \{4\} \cup [6, +\infty)$.

2.

Найдем множество решений неравенства $|x - a|(3x^2 - x - 4) \le 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

1. Множитель $|x - a|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x - a| \ge 0$ при любых $x$ и $a$.

2. Произведение $|x - a|$ и $(3x^2 - x - 4)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:
а) $|x - a| = 0$, что равносильно $x = a$. При этом неравенство становится $0 \le 0$, что верно. Таким образом, $x = a$ является решением при любом значении $a$.
б) $|x - a| > 0$ (то есть $x \neq a$). В этом случае для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неположителен: $3x^2 - x - 4 \le 0$.

3. Решим квадратное неравенство $3x^2 - x - 4 \le 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 4 = 0$ по формуле:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{1 \pm 7}{6}$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 7}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Так как парабола $y = 3x^2 - x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $3x^2 - x - 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 4/3]$.

4. Общее множество решений исходного неравенства является объединением решений из пунктов (а) и (б): $x \in [-1; 4/3] \cup \{a\}$.

5. Проанализируем результат в зависимости от параметра $a$:
• Если значение $a$ попадает в отрезок $[-1; 4/3]$, то есть $-1 \le a \le 4/3$, то точка $x=a$ уже включена в этот отрезок. Множество решений в этом случае будет просто $x \in [-1; 4/3]$.
• Если значение $a$ находится вне отрезка $[-1; 4/3]$, то есть $a < -1$ или $a > 4/3$, то $x=a$ является изолированным решением, которое добавляется к отрезку. Множество решений будет $x \in [-1; 4/3] \cup \{a\}$.

Ответ:
Если $-1 \le a \le 4/3$, то решением является $x \in [-1; 4/3]$.
Если $a < -1$ или $a > 4/3$, то решением является $x \in [-1; 4/3] \cup \{a\}$.