Номер 6, страница 7 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 6, страница 7.

Условие.

Самостоятельная работа № 6

Построение графиков функций $y = f(|x|)$ и $y = |f(x)|$

1. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x - 3}|$;

2) $y = \sqrt{|x| - 3}$;

3) $y = \sqrt{|x - 3|}$;

4) $y = \sqrt{|x - 3|} - 3$.

2. Функция $f$ такова, что $D(f) = [-2; 3)$ и $E(f) = [-7; 4)$.

Найдите область определения и область значений функции $|f(|x|)|$.

3. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|2|x| - 1| = x - a$ имеет три корня?

Решение.

1.

1) y = |√x - 3|

Построение графика функции $y = |\sqrt{x} - 3|$ выполняется в несколько шагов:
1. Строим базовый график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox, лежащая в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.
2. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Получаем график функции $y = \sqrt{x} - 3$. Начальная точка графика перемещается из (0, 0) в (0, -3). График пересекает ось Ox в точке, где $\sqrt{x} - 3 = 0$, то есть при $x = 9$.
3. Применяем операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |\sqrt{x} - 3|$. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ox (на интервале $x \in [0; 9)$), симметрично отражается относительно оси Ox. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (при $x \ge 9$), остается без изменений.
В итоге получаем график, который начинается в точке (0, 3), опускается до точки (9, 0) и затем возрастает.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}-3$, у которого часть, лежащая ниже оси Ox, отражена симметрично относительно оси Ox.

2) y = √|x| - 3

Построение графика функции $y = \sqrt{|x|} - 3$ выполняется следующим образом:
1. Строим график функции $y = \sqrt{x} - 3$ для $x \ge 0$. Это та же кривая, что и в предыдущем пункте (шаг 2), но рассматриваемая только для неотрицательных $x$.
2. Так как функция является четной ($y(|x|) = y(-|x|)$), ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy.
В результате получаем "галочку", состоящую из двух ветвей парабол, с вершиной в точке (0, -3).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$, отраженный симметрично относительно оси Oy.

3) y = √|x - 3|

Построение графика функции $y = \sqrt{|x - 3|}$ выполняется так:
1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 3 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график функции $y = \sqrt{x - 3}$. Область определения этой функции $x \ge 3$.
3. Теперь строим график $y = \sqrt{|x - 3|}$. Для этого часть графика $y = \sqrt{x - 3}$, которая соответствует $x \ge 3$, оставляем без изменений, и отражаем ее симметрично относительно прямой $x = 3$.
Это эквивалентно построению графика $y=\sqrt{-(x-3)}=\sqrt{3-x}$ для $x < 3$.
График состоит из двух ветвей, исходящих из точки (3, 0) и идущих вверх влево и вправо.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x-3}$, к которому добавлена его симметричная копия относительно прямой $x=3$.

4) y = √|x - 3| - 3

Для построения этого графика нужно взять график из предыдущего пункта ($y = \sqrt{|x - 3|}$) и сдвинуть его на 3 единицы вниз по оси Oy.
Вершина графика переместится из точки (3, 0) в точку (3, -3).

Ответ: График из пункта 3), сдвинутый на 3 единицы вниз по оси Oy.

2.

Дана функция $f$ с областью определения $D(f) = [-2; 3]$ и областью значений $E(f) = [-7; 4]$. Нужно найти область определения и область значений функции $g(x) = |f(|x|)|$.
1. Область определения $D(g)$:
Функция $g(x)$ определена, если ее аргумент $|x|$ принадлежит области определения функции $f$.
То есть, $|x| \in D(f)$, что означает $|x| \in [-2; 3]$.
Поскольку $|x|$ по определению неотрицательно ($|x| \ge 0$), это условие равносильно системе неравенств:
$|x| \ge 0$ и $|x| \le 3$.
Неравенство $|x| \le 3$ эквивалентно $-3 \le x \le 3$.
Таким образом, область определения функции $g(x)$ есть $D(g) = [-3; 3]$.
2. Область значений $E(g)$:
Найдем, какие значения может принимать выражение $|f(|x|)|$.
Аргумент функции $f$, равный $|x|$, принимает значения из отрезка $[0; 3]$, так как $x \in [-3; 3]$.
Значения функции $f(t)$ для $t \in [0; 3]$ являются подмножеством всей области значений $E(f) = [-7; 4]$.
Пусть $y = f(|x|)$. Тогда $y$ принимает некоторые значения из отрезка $[-7; 4]$.
Функция $g(x)$ равна $|y| = |f(|x|)|$. Нам нужно найти множество значений модуля чисел из отрезка $[-7; 4]$.
Минимальное значение модуля равно 0.
Максимальное значение модуля будет равно наибольшему по модулю числу из отрезка $[-7; 4]$. Это $\max(|-7|, |4|) = 7$.
Таким образом, область значений функции $g(x)$ есть $E(g) = [0; 7]$.

Ответ: Область определения $D(|f(|x|)|) = [-3; 3]$; область значений $E(|f(|x|)|) = [0; 7]$.

3.

Требуется найти значения параметра $a$, при которых уравнение $|2|x|-1| = x - a$ имеет три корня.
Решим задачу графически. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |2|x|-1|$ и $y = x - a$.
1. Построим график функции $y = |2|x|-1|$.
- Сначала строим $y = 2x - 1$ (прямая).
- Затем строим $y = 2|x| - 1$. Для этого часть прямой при $x \ge 0$ оставляем, а для $x < 0$ отражаем ее симметрично оси Oy. Получаем "галочку" с вершиной в точке (0, -1).
- Наконец, строим $y = |2|x|-1|$. Часть "галочки", лежащую ниже оси Ox (между $x = -1/2$ и $x = 1/2$), отражаем симметрично оси Ox. Вершина (0, -1) переходит в (0, 1).
Итоговый график имеет форму буквы "W" с вершинами в точках $(-1/2, 0)$, $(0, 1)$ и $(1/2, 0)$.
2. Проанализируем график $y = x - a$.
Это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) равным 1. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по вертикали (y-перехват равен $-a$).
3. Найдем количество точек пересечения.
Будем перемещать прямую $y = x - a$ снизу вверх и смотреть, сколько у нее точек пересечения с "W"-графиком. Количество пересечений меняется, когда прямая проходит через одну из вершин графика $y = |2|x|-1|$.
- Если прямая проходит через вершину $(1/2, 0)$:
$0 = 1/2 - a \Rightarrow a = 1/2$. В этом случае прямая $y = x - 1/2$ касается графика в одной точке. Один корень.
- Если прямая проходит через вершину $(-1/2, 0)$:
$0 = -1/2 - a \Rightarrow a = -1/2$. Прямая $y = x + 1/2$ пересекает "W"-график в трех точках: в самой вершине $(-1/2, 0)$, а также на двух других участках. Три корня.
- Если прямая проходит через вершину $(0, 1)$:
$1 = 0 - a \Rightarrow a = -1$. Прямая $y = x + 1$ пересекает "W"-график в трех точках: в вершине $(0, 1)$ и на двух крайних "ветвях". Три корня.
При других положениях прямой количество корней будет 0, 1, 2 или 4. Три корня получается только в двух указанных случаях.

Ответ: $a = -1$ или $a = -1/2$.