Номер 13, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 13, страница 9.

Условие.

Самостоятельная работа № 13

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения

Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - xy + y = 3, \\ 3y - x = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x-3)(y+1) = 0, \\ x^2 + 3y^2 - 2xy = 18; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy = 2, \\ 4y^2 - 3xy = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2y^2 - xy^3 = 30, \\ x^3y - x^2y^2 = 180. \end{cases}$

Решение.

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - xy + y = 3 \\3y - x = 4\end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную x через y:

$x = 3y - 4$

Теперь подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы:

$(3y - 4)^2 - (3y - 4)y + y = 3$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$(9y^2 - 24y + 16) - (3y^2 - 4y) + y = 3$

$9y^2 - 24y + 16 - 3y^2 + 4y + y = 3$

$6y^2 - 19y + 13 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно y. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 13 = 361 - 312 = 49 = 7^2$

Корни уравнения для y:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного y, используя выражение $x = 3y - 4$:

Для $y_1 = \frac{13}{6}$:

$x_1 = 3 \cdot \frac{13}{6} - 4 = \frac{13}{2} - \frac{8}{2} = \frac{5}{2}$

Для $y_2 = 1$:

$x_2 = 3 \cdot 1 - 4 = -1$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(\frac{5}{2}, \frac{13}{6})$, $(-1, 1)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}(x-3)(y+1) = 0 \\x^2 + 3y^2 - 2xy = 18\end{cases}$

Первое уравнение обращается в ноль, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая.

Случай 1: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Подставим $x = 3$ во второе уравнение системы:

$3^2 + 3y^2 - 2(3)y = 18$

$9 + 3y^2 - 6y = 18$

$3y^2 - 6y - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3, чтобы упростить его:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Из первого случая получаем два решения: $(3, 3)$ и $(3, -1)$.

Случай 2: $y + 1 = 0 \implies y = -1$.

Подставим $y = -1$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 3(-1)^2 - 2x(-1) = 18$

$x^2 + 3 + 2x = 18$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Из второго случая получаем еще два решения: $(3, -1)$ и $(-5, -1)$.

Объединяя решения из обоих случаев и исключая дубликаты (пара $(3, -1)$ встречается в обоих), получаем итоговый набор решений.

Ответ: $(3, 3)$, $(3, -1)$, $(-5, -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - xy = 2 \\4y^2 - 3xy = 7\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 7, а второе на 2, чтобы уравнять свободные члены:

$\begin{cases}7(x^2 - xy) = 14 \\2(4y^2 - 3xy) = 14\end{cases}\implies\begin{cases}7x^2 - 7xy = 14 \\8y^2 - 6xy = 14\end{cases}$

Приравняем левые части уравнений:

$7x^2 - 7xy = 8y^2 - 6xy$

$7x^2 - xy - 8y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (предполагая, что $y \neq 0$, так как $y=0$ не является решением исходной системы):

$7(\frac{x}{y})^2 - (\frac{x}{y}) - 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$ и решим квадратное уравнение $7t^2 - t - 8 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225 = 15^2$

$t_1 = \frac{1 + 15}{14} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$

$t_2 = \frac{1 - 15}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{8}{7} \implies x = \frac{8}{7}y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы $x^2 - xy = 2$:

$(\frac{8}{7}y)^2 - (\frac{8}{7}y)y = 2$

$\frac{64}{49}y^2 - \frac{8}{7}y^2 = 2 \implies \frac{64y^2 - 56y^2}{49} = 2 \implies \frac{8y^2}{49} = 2$

$y^2 = \frac{2 \cdot 49}{8} = \frac{49}{4} \implies y = \pm\frac{7}{2}$.

Если $y_1 = \frac{7}{2}$, то $x_1 = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{2} = 4$.

Если $y_2 = -\frac{7}{2}$, то $x_2 = \frac{8}{7} \cdot (-\frac{7}{2}) = -4$.

Получаем два решения: $(4, \frac{7}{2})$ и $(-4, -\frac{7}{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$.

Подставим в первое уравнение $x^2 - xy = 2$:

$(-y)^2 - (-y)y = 2$

$y^2 + y^2 = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -1$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -(-1) = 1$.

Получаем еще два решения: $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.

Ответ: $(4, \frac{7}{2})$, $(-4, -\frac{7}{2})$, $(-1, 1)$, $(1, -1)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2y^2 - xy^3 = 30 \\x^3y - x^2y^2 = 180\end{cases}$

Вынесем общие множители в левой части каждого уравнения:

$\begin{cases}xy^2(x - y) = 30 \\x^2y(x - y) = 180\end{cases}$

Заметим, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$, иначе левые части уравнений были бы равны нулю. Поэтому мы можем разделить второе уравнение на первое:

$\frac{x^2y(x - y)}{xy^2(x - y)} = \frac{180}{30}$

После сокращения получаем:

$\frac{x}{y} = 6 \implies x = 6y$

Теперь подставим выражение $x = 6y$ в первое уравнение исходной системы $xy^2(x - y) = 30$:

$(6y)y^2(6y - y) = 30$

$6y^3(5y) = 30$

$30y^4 = 30$

$y^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения x:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 6 \cdot 1 = 6$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 6 \cdot (-1) = -6$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(6, 1)$, $(-6, -1)$.