Номер 10, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 10, страница 8.

Условие.

Самостоятельная работа № 10

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки

1. При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$ принадлежат промежутку $(1; 4)$?

2. Найдите все значения параметра $a$, при которых один из корней квадратного уравнения $ax^2 + x - 3 = 0$ больше 2, а другой меньше 2.

3. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 - (2a + 6)x + a^2 - 5a + 6 = 0$ являются положительными числами?

Решение.

1.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$.

Сначала найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(2a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6a = (2a + 3)^2 - 24a = 4a^2 + 12a + 9 - 24a = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$.

Поскольку дискриминант является полным квадратом, $D \ge 0$ при любых значениях $a$, и корни уравнения можно легко найти по формуле:

$x = \frac{(2a + 3) \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2} = \frac{(2a + 3) \pm (2a - 3)}{2}$.

Таким образом, корнями уравнения являются:

$x_1 = \frac{(2a + 3) + (2a - 3)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$

$x_2 = \frac{(2a + 3) - (2a - 3)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Согласно условию задачи, все корни должны принадлежать промежутку $(1; 4)$.

Один из корней, $x_2 = 3$, всегда принадлежит этому промежутку, так как выполняется неравенство $1 < 3 < 4$.

Следовательно, необходимо и достаточно, чтобы второй корень $x_1 = 2a$ также принадлежал этому промежутку:

$1 < 2a < 4$.

Разделив все части этого двойного неравенства на 2, получаем:

$\frac{1}{2} < a < 2$.

Ответ: $a \in (0.5; 2)$.

2.

Рассмотрим квадратное уравнение $ax^2 + x - 3 = 0$.

По условию, один корень больше 2, а другой меньше 2. Это означает, что число 2 находится между корнями уравнения $x_1$ и $x_2$.

Обозначим $f(x) = ax^2 + x - 3$. Условие, что число $k$ лежит между корнями квадратного трехчлена $f(x)$, эквивалентно выполнению неравенства $a \cdot f(k) < 0$ (при этом уравнение гарантированно имеет два различных действительных корня).

В нашем случае $k=2$, а старший коэффициент — это $a$.

Найдем значение функции в точке $x=2$:

$f(2) = a \cdot 2^2 + 2 - 3 = 4a - 1$.

Теперь составим и решим неравенство $a \cdot f(2) < 0$:

$a(4a - 1) < 0$.

Чтобы решить это неравенство, найдем корни выражения $a(4a - 1) = 0$. Корнями являются $a_1 = 0$ и $a_2 = 1/4$.

Графиком функции $y=a(4a-1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(0; 1/4)$.

Ответ: $a \in (0; 1/4)$.

3.

Рассмотрим уравнение $x^2 - (2a + 6)x + a^2 - 5a + 6 = 0$.

Корни квадратного уравнения ($x_1$ и $x_2$) являются положительными числами тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия:

1. Уравнение имеет действительные корни, то есть дискриминант $D \ge 0$.

2. Сумма корней положительна, $x_1 + x_2 > 0$.

3. Произведение корней положительно, $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Используем теорему Виета. Для нашего уравнения:

$x_1 + x_2 = 2a + 6$

$x_1 \cdot x_2 = a^2 - 5a + 6$

Теперь запишем и решим систему неравенств, соответствующую трем условиям:

1. $D = (-(2a + 6))^2 - 4(1)(a^2 - 5a + 6) = (4a^2 + 24a + 36) - (4a^2 - 20a + 24) = 44a + 12$.

Условие $D \ge 0$ дает $44a + 12 \ge 0 \implies 44a \ge -12 \implies a \ge -\frac{12}{44} \implies a \ge -\frac{3}{11}$.

2. $x_1 + x_2 > 0 \implies 2a + 6 > 0 \implies 2a > -6 \implies a > -3$.

3. $x_1 \cdot x_2 > 0 \implies a^2 - 5a + 6 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 5a + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2, a_2=3$.

Графиком функции $y=a^2 - 5a + 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $a < 2$ или $a > 3$, то есть $a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Найдем пересечение решений всех трех условий:

$\begin{cases} a \ge -3/11 \\ a > -3 \\ a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty) \end{cases}$

Из первых двух неравенств следует более сильное: $a \ge -3/11$.

Теперь найдем пересечение множеств $a \in [-3/11; \infty)$ и $a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Это дает нам объединение двух промежутков: $[-3/11; 2)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $a \in [-3/11; 2) \cup (3; \infty)$.