Номер 5, страница 6 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 5, страница 6.

Условие.

Самостоятельная работа № 5

Построение графиков функций $y = f(x) + b$

и $y = f(x + a)$

1. Каковы координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 7$;

2) $y = (x + 8)^2$;

3) $y = (x - 6)^2 + 9?$

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x} - 4$;

2) $y = 3 + \sqrt{x + 1}$.

3. Постройте график функции $y = \frac{2x}{x+3}$.

4. Сколько корней имеет уравнение $|x + 3| = a - x^2$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

1. Каковы координаты вершины параболы:

Координаты вершины параболы, заданной уравнением в виде $y = a(x - h)^2 + k$, находятся в точке $(h, k)$.

1) $y = x^2 + 7$

Данное уравнение можно представить в виде $y = (x - 0)^2 + 7$. Здесь $h=0$ и $k=7$. Следовательно, координаты вершины параболы: $(0, 7)$.
Ответ: $(0, 7)$

2) $y = (x + 8)^2$

Данное уравнение можно представить в виде $y = (x - (-8))^2 + 0$. Здесь $h=-8$ и $k=0$. Следовательно, координаты вершины параболы: $(-8, 0)$.
Ответ: $(-8, 0)$

3) $y = (x - 6)^2 + 9$

Уравнение уже представлено в стандартной форме $y = (x - h)^2 + k$. Здесь $h=6$ и $k=9$. Следовательно, координаты вершины параболы: $(6, 9)$.
Ответ: $(6, 9)$

2. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

Базовый график функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0, 0)$ и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$ в первой координатной четверти.

1) $y = \sqrt{x} - 4$

Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси $Oy$ на 4 единицы вниз. Каждая точка графика $y = \sqrt{x}$ смещается на 4 единицы вниз. Начальная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0, -4)$. Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, -3)$. Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4, -2)$.
Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 4$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 4 единицы вниз по оси $Oy$.

2) $y = 3 + \sqrt{x + 1}$

Этот график получается из графика $y = \sqrt{x}$ в два этапа:
1. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево (преобразование $x \rightarrow x+1$). Получаем график $y = \sqrt{x+1}$.
2. Сдвиг полученного графика вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх (добавление константы 3).
Начальная точка $(0, 0)$ базового графика переходит в точку $(-1, 3)$. Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(0, 4)$. Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(3, 5)$.
Ответ: График функции $y = 3 + \sqrt{x+1}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вверх по оси $Oy$.

3. Постройте график функции $y = \frac{2x}{x+3}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для построения преобразуем выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{2x}{x+3} = \frac{2(x+3) - 6}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} - \frac{6}{x+3} = 2 - \frac{6}{x+3}$.
График этой функции можно получить из графика $y = -\frac{6}{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх по оси $Oy$.
Основные характеристики графика:
1. Вертикальная асимптота: возникает, когда знаменатель равен нулю. $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
2. Горизонтальная асимптота: $y=2$.
3. Пересечение с осями координат:
- С осью $Oy$ (при $x=0$): $y = \frac{2 \cdot 0}{0+3} = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = \frac{2x}{x+3} \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.
График проходит через начало координат.
4. Дополнительные точки:
- при $x=3$, $y = \frac{2 \cdot 3}{3+3} = 1$. Точка $(3, 1)$.
- при $x=-6$, $y = \frac{2 \cdot (-6)}{-6+3} = \frac{-12}{-3} = 4$. Точка $(-6, 4)$.
Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=-3$ и $y=2$, отметить точку $(0,0)$ и дополнительные точки, а затем провести через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.
Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно этих асимптот. График проходит через начало координат.

4. Сколько корней имеет уравнение $|x+3| = a - x^2$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решим задачу графически. Преобразуем уравнение к виду $a = x^2 + |x+3|$. Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y = x^2 + |x+3|$ и горизонтальной прямой $y=a$.
Построим график функции $y = f(x) = x^2 + |x+3|$. Раскроем модуль:
1. Если $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$:
$y = x^2 + x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Это значение входит в промежуток $x \ge -3$. $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) + 3 = 0.25 - 0.5 + 3 = 2.75$. Вершина находится в точке $(-0.5, 2.75)$.
2. Если $x+3 < 0$, то есть $x < -3$:
$y = x^2 - (x+3) = x^2 - x - 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина этой параболы $x_v = -\frac{-1}{2} = 0.5$ не входит в промежуток $x < -3$. На этом промежутке функция убывает.
Найдем значение функции в точке "стыка" $x=-3$: $y(-3) = (-3)^2 + |-3+3| = 9 + 0 = 9$.
Итоговый график функции $y = f(x)$ состоит из двух частей парабол. Он убывает при $x \in (-\infty, -3)$, имеет точку излома в $(-3, 9)$, далее убывает до своей минимальной точки (вершины) $(-0.5, 2.75)$ и затем возрастает.
Теперь проанализируем количество пересечений этого графика с прямой $y=a$:
- Если $a < 2.75$, прямая $y=a$ проходит ниже минимума функции. Пересечений нет, следовательно, 0 корней.
- Если $a = 2.75$, прямая касается графика в его минимальной точке. Есть одно пересечение, следовательно, 1 корень ($x=-0.5$).
- Если $a > 2.75$, прямая пересекает график в двух точках. Следовательно, 2 корня. Это верно для всех значений $a$ больших $2.75$, включая случай $a=9$ (пересечения в $x=-3$ и $x=2$) и случаи $a>9$.
Ответ:
- при $a < 2.75$ — нет корней;
- при $a = 2.75$ — 1 корень;
- при $a > 2.75$ — 2 корня.